Алгебраически замкнутое поле

Для термина «Замыкание» см. также другие значения.

Алгебраически замкнутое поле — поле $\mathbb {K}$, в котором всякий многочлен ненулевой степени над $\mathbb {K}$ имеет хотя бы один корень.

Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание, то есть его алгебраическое расширение, являющееся алгебраически замкнутым. При этом существование алгебраического замыкания существенно зависит от аксиомы выбора: существуют модели теории множеств без аксиомы выбора, где есть поля, не обладающие алгебраическим замыканием.

Свойства

• В алгебраически замкнутом поле $\mathbb {K}$ каждый многочлен степени $n$ имеет ровно $n$ (с учётом кратности) корней в $\mathbb {K}$. Иначе говоря, каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов $\mathbb {K} [x]$ имеет степень $1$. См. также теорема Безу.
• Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Действительно, можно рассмотреть многочлен $x^{m}-x$, где $m$ — количество элементов поля. Корнями данного многочлена являются все элементы поля. Если к нему прибавить $1$, то полученный многочлен не будет иметь корней.
• Алгебраическим замыканием поля $\mathbb {K}$ в его расширении $\mathbb {K} '$ называется поле всех алгебраических над $\mathbb {K}$ элементов $\mathbb {K} '$. Алгебраическое замыкание поля в алгебраически замкнутом поле является алгебраически замкнутым, и более того, его алгебраическим замыканием.
• Алгебраическим замыканием поля вещественных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.
• Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.
• Алгебраическим замыканием конечного поля $\mathbb {F} _{p^{k}}$ является поле $\mathbb {F} _{p^{\infty }}$.
• Алгебраическое замыкание поля рациональных дробей $\mathbb {K} (X)$ называется полем алгебраических функций. Элементы такого поля функциями в обычном смысле не являются, однако такое название довольно часто встречается в литературе.
• Поле арифметических чисел алгебраически замкнуто.

Конструкция

Одна из возможных конструкций алгебраического замыкания для произвольного поля была построена Эмилем Артином.

Пусть задано поле $\mathbb {K}$. Требуется построить алгебраическое замыкание этого поля.

Определим $F\subset \mathbb {K} [x]$ как множество всех неприводимых многочленов над полем $\mathbb {K}$. Каждому многочлену поставим в соответствие переменную $x_{f}$. Обозначим за $X$ множество всех таких переменных $X=\{x_{f}|f\in F\}$. Образуем кольцо многочленов $\mathbb {K} [X]$. Можно показать, что идеал $I$, порождённый всеми многочленами вида $f(x_{f})$, не является единичным. Тогда мы можем перейти к максимальному идеалу $I'$, содержающему идеал $I$ (здесь мы пользуемся аксиомой выбора), и получить поле $\mathbb {K_{1}} =\mathbb {K} [X]/I'$. Если отождествить многочлены-константы с элементами основного поля, то получаем $\mathbb {K} \subset \mathbb {K_{1}}$.

На поле $\mathbb {K_{1}}$ можно смотреть как на поле, полученное присоединением к полю $\mathbb {K}$ по одному корню каждого неприводимого многочлена. Чтобы присоединить остальные корни, необходимо повторять эту конструкцию. Повторим её для поля $\mathbb {K_{1}}$ и получим поле $\mathbb {K_{2}}$. Повторяя это $n$ раз можно получить поле $\mathbb {K_{n}}$. Таким образом, мы имеем башню полей:

$\mathbb {K} \subset \mathbb {K_{1}} \subset \mathbb {K_{2}} \subset \ldots \subset \mathbb {K_{n}} \subset \mathbb {K_{n+1}} \subset \ldots$

Объединение всех этих полей даст поле $\mathbb {K_{\infty }} =\bigcup _{n=0}^{\infty }\mathbb {K_{n}}$. Алгебраическая замкнутость этого поля очевидна.

См. также

• Теория Галуа
• Замыкание (алгебра)