Абсолютная величина

Абсолю́тная величина́, или мо́дуль, числа $x$ (в математике) — неотрицательное число, которое, неформально говоря, обозначает расстояние между началом координат и $x$. Обозначается: $|x|.$

График вещественной функции

Модуль $|z|$ и другие характеристики комплексного числа $z$

В случае вещественного $x$ абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

$|x|={\begin{cases}x,&x>0,\\0,&x=0,\\-x,&\ x<0.\end{cases}}$

Обобщением этого понятия является модуль, или абсолютная величина, комплексного числа $z=x+iy.$ Это число определяется по формуле:

$|z|=|x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

Основные свойства

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина $|x_{1}-x_{2}|$ означает расстояние между точками $x_{1}$ и $x_{2}$ и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой — например, в определении предела по Коши или медианы.

Вещественные числа

• Область определения: $(-\infty ;+\infty ).$
• Область значений: $[0;+\infty ).$
• Функция чётная.
• Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке $x=0$ функция претерпевает излом.

Комплексные числа

• Область определения: вся комплексная плоскость.
• Область значений: $[0;+\infty ).$
• Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.

Алгебраические свойства

Для любых вещественных чисел $a,b$ имеют место следующие соотношения:

• $\ |x|={\sqrt {x^{2}}}=x\cdot \operatorname {sgn} x={\rm {max}}\,\{x,\,-x\}$ (sgn — функция знака);
• $-|a|\leqslant a\leqslant |a|;$
• квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: $|a|^{2}=a^{2}.$

Как для вещественных, так и для комплексных $a,b$ имеют место соотношения:

• модуль любого числа равен либо больше нуля: $|a|\geqslant 0$, причём $|a|=0$ тогда и только тогда, когда $a=0;$
• модули противоположных чисел равны: $|{-a}|=|a|;$
• модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: $|ab|=|a||b|;$
  • в частности, постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: $|ab|=a|b|,\quad a>0;$
• модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел: $\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}};$
• $|a+b|\leqslant |a|+|b|$ (неравенство треугольника);
• $|a-b|\leqslant |a|+|b|;$
• $|a|-|b|\leqslant |a+b|;$
• $|a\pm b|\geqslant {\big |}|a|-|b|{\big |};$
• $|a^{k}|=|a|^{k},$ если $a^{k}$ существует.

История

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программирования

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (а именно с помощью сравнений и присваиваний), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа. В программе Wolfram Mathematica: Abs[x].

Обобщение

Понятие абсолютной величины можно ввести в произвольном упорядоченном кольце или упорядоченном поле, и свойства её будут аналогичны приведённым выше.

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую $\|x\|$. Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

См. также

• Модуль комплексного числа
• Модуль вектора
• Норма вектора
• Нормирование
• Нормированное векторное пространство