АТС-теорема

АТС теорема — теорема об аппроксимации тригонометрической суммы более короткой.

В некоторых областях математики и математической физики исследуются суммы вида

S=\sum _{a<k\leq b}\varphi (k)e^{2\pi if(k)}.

Здесь $\varphi (x)$ и $f(x)$ — вещественные функции вещественного аргумента, $i^{2}=-1.$

Такие суммы появляются, например, в теории чисел при анализе дзета-функции Римана, при решении задач, связанных с распределением целых точек в различных областях на плоскости и в пространстве, при изучении рядов Фурье, при решении таких дифференциальных уравнений, как волновое уравнение, уравнение теплопроводности и т. д.

Вводные замечания

Назовём длиной суммы $S$ число $b-a$ (для целых $a$ и $b$ это просто число слагаемых в $S$ ).

Будем использовать следующие обозначения:

При $B>0,B\to +\infty$ или $B\to 0$ запись $1\ll {\frac {A}{B}}\ll 1$ означает, что существуют константы $C_{1}>0$ и $C_{2}>0,$ , такие что
$C_{1}\leq {\frac {|A|}{B}}\leq C_{2}.$
Для вещественного $\alpha$ запись $\|\alpha \|$ значит, что
$\|\alpha \|=\min(\{\alpha \},1-\{\alpha \}),$

где $\{\alpha \}$ — дробная часть $\alpha .$

Сформулируем основную теорему о замене тригонометрической (иногда её называют также экспоненциальной) суммы более короткой.

Теорема об аппроксимации тригонометрической суммы

Пусть вещественные функции $f(x)$ и $\varphi (x)$ удовлетворяют на отрезке $[a,b]$ следующим условиям:

$f''(x)$ и $\varphi ''(x)$ являются непрерывными;
существуют числа $H$ , $U$ и $V$ такие, что
$H>0,~~1\ll U\ll V,~~0<b-a\leq V,$

${\begin{array}{rc}{\frac {1}{U}}\ll f''(x)\ll {\frac {1}{U}}\ ,&\varphi (x)\ll H,\\f'''(x)\ll {\frac {1}{UV}}\ ,&\varphi '(x)\ll {\frac {H}{V}},\\f''''(x)\ll {\frac {1}{UV^{2}}}\ ,&\varphi ''(x)\ll {\frac {H}{V^{2}}}.\\\end{array}}$

Тогда, определяя числа $x_{\mu }$ из уравнения

f'(x_{\mu })=\mu ,

имеем

\sum _{a<\mu \leq b}\varphi (\mu )e^{2\pi if(\mu )}=\sum _{f'(a)\leq \mu \leq f'(b)}C(\mu )Z(\mu )+R,

где

R=O\left({\frac {HU}{b-a}}+HT_{a}+HT_{b}+H\log \left(f'(b)-f'(a)+2\right)\right);

T_{j}=\left\{{\begin{array}{rc}0\ ,&\ {{\textit {i}}f}\ \ f'(j)\ {{\textit {i}}s\ an\ integer};\\\min \left({\frac {1}{\|f'(j)\|}},{\sqrt {U}}\right)\ ,&\ {{\textit {i}}f}\ \ \|f'(j)\|\neq 0;\\\end{array}}\right.

j=a,b;

C(\mu )=\left\{{\begin{array}{rc}1\ \ ,&\ \ {{\textit {i}}f}\ \ f'(a)<\mu <f'(b);\\{\frac {1}{2}}\ \ ,&\ \ {{\textit {i}}f}\ \ \mu =f'(a)\ \ {{\textit {o}}r}\ \ \mu =f'(b);\\\end{array}}\right.

Z(\mu )={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\frac {\varphi (x_{\mu })}{\sqrt {f''(x_{\mu })}}}e^{2\pi i(f(x_{\mu })-\mu x_{\mu })}\ .

Лемма Ван дер Корпута

Самым простым вариантом сформулированной теоремы - является утверждение, называемое в литературе леммой Ван дер Корпута.

Пусть $f(x)$ — вещественная дифференцируемая функция на интервале $a<x\leq b$ , кроме того, внутри этого интервала её производная $f'(x)$ является монотонной и знакопостоянной функцией, и при $\delta =const$ , $0<\delta <1$ удовлетворяет неравенству

|f'(x)|\leq \delta .

Тогда,

\sum _{a<k\leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}dx+\theta \left(3+{\frac {2\delta }{1-\delta }}\right),

где $|\theta |\leq 1.$

Если параметры $a$ и $b$ являются целыми числами, то последнее выражение можно заменить таким:

\sum _{a<k\leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}dx+{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(b)}-{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(a)}+\theta {\frac {2\delta }{1-\delta }},

где $|\theta |\leq 1$ .

Применение

О применениях аппроксимации тригонометрической суммы в задачах физики см.^[1],^[2], см. также^[3],^[4].

История

Проблема приближения тригонометрического ряда какой-либо подходящей функцией рассматривалась ещё Эйлером и Пуассоном.

При определённых условиях на $\varphi (x)$ и $f(x)$ сумму $S$ можно заменить с хорошей точностью другой суммой $S_{1},$

S_{1}=\sum _{\alpha <k\leq \beta }\Phi (k)e^{2\pi iF(k)},

длина которой $\beta -\alpha$ много меньше, чем $b-a.$ Первые соотношения вида

S=S_{1}+R\ ,

где $R$ — остаточный член, с конкретными функциями $\varphi (x)$ и $f(x),$ были получены Г. Харди, Дж. Литтлвудом^[5]^[6]^[7] и И. Виноградовым^[8] при выводе функционального уравнения для дзета-функции Римана $\zeta (s)$ , при рассмотрении количеств целых точек в областях на плоскости. В общем виде теорема была доказана Дж. Ван дер Корпутом^[9]^[10] (о недавних результатах, связанных с теоремой Ван дер Корпута можно прочитать в^[11]).

В каждой из вышеупомянутых работ на функции $\varphi (x)$ и $f(x)$ накладывались некоторые ограничения. С ограничениями, удобными для приложений, теорема была доказана А. А. Карацубой в^[12] (см. также^[13]^[14]).

Примечания

↑ E. A. Karatsuba Approximation of sums of oscillating summands in certain physical problems, — JMP 45:11, pp. 4310—4321 (2004).
↑ E. A. Karatsuba On an approach to the study of the Jaynes-Cummings sum in quantum optics, — Numerical Algorithms, Vol. 45, No.1-4 , pp. 127—137 (2007).
↑ E. Chassande-Mottin, A. Pai Best chirplet chain: near-optimal detection of gravitational wave chirps, — Phys. Rev. D 73:4, 042003, pp. 1—23 (2006).
↑ M. Fleischhauer, W. P. Schleich Revivals made simple: Poisson summation formula as a key to the revivals in the Jaynes-Cummings model, — Phys. Rev. A 47:3, pp. 4258—4269 (1993).
↑ G. H. Hardy and J. E. Littlewood The trigonometrical series associated with the elliptic θ-functions, — Acta Math. 37, pp. 193—239 (1914).
↑ G. H. Hardy and J. E. Littlewood Contributions to the theory of Riemann Zeta-Function and the theory of the distribution of primes, — Acta Math. 41, pp. 119—196 (1918).
↑ G. H. Hardy and J. E. Littlewood The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line, — Math. Z., 10, pp. 283—317 (1921).
↑ И. М. Виноградов О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя, — Сообщ. Харьк. Матем. О-ва, т. 16, № 1/2 , с.10—38 (1918).
↑ J. G. Van der Corput Zahlentheoretische Abschätzungen, — Math. Ann. 84, pp. 53—79 (1921).
↑ J. G. Van der Corput Verschärfung der abschätzung beim teilerproblem, — Math. Ann., 87, pp. 39—65 (1922).
↑ H. L. Montgomery Ten Lectures on the Interface Between Analytic Number Theory and Harmonic Analysis, — Am. Math. Soc., 1994.
↑ A. A. Karatsuba Approximation of exponential sums by shorter ones, — Proc. Indian. Acad. Sci. (Math. Sci.) 97: 1—3, pp. 167—178 (1987).
↑ С. М. Воронин, А. А. Карацуба Дзета-функция Римана, — М.: Физматлит, 1994.
↑ А. А. Карацуба, М. А. Королёв Теорема о приближении тригонометрической суммы более короткой, — Известия РАН. Серия математики, т. 71, № 2, с. 123—150 (2007).

[1] E. A. Karatsuba Approximation of sums of oscillating summands in certain physical problems, — JMP 45:11, pp. 4310—4321 (2004).

[2] E. A. Karatsuba On an approach to the study of the Jaynes-Cummings sum in quantum optics, — Numerical Algorithms, Vol. 45, No.1-4 , pp. 127—137 (2007).

[3] E. Chassande-Mottin, A. Pai Best chirplet chain: near-optimal detection of gravitational wave chirps, — Phys. Rev. D 73:4, 042003, pp. 1—23 (2006).

[4] M. Fleischhauer, W. P. Schleich Revivals made simple: Poisson summation formula as a key to the revivals in the Jaynes-Cummings model, — Phys. Rev. A 47:3, pp. 4258—4269 (1993).

[5] G. H. Hardy and J. E. Littlewood The trigonometrical series associated with the elliptic θ-functions, — Acta Math. 37, pp. 193—239 (1914).

[6] G. H. Hardy and J. E. Littlewood Contributions to the theory of Riemann Zeta-Function and the theory of the distribution of primes, — Acta Math. 41, pp. 119—196 (1918).

[7] G. H. Hardy and J. E. Littlewood The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line, — Math. Z., 10, pp. 283—317 (1921).

[8] И. М. Виноградов О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя, — Сообщ. Харьк. Матем. О-ва, т. 16, № 1/2 , с.10—38 (1918).

[9] J. G. Van der Corput Zahlentheoretische Abschätzungen, — Math. Ann. 84, pp. 53—79 (1921).

[10] J. G. Van der Corput Verschärfung der abschätzung beim teilerproblem, — Math. Ann., 87, pp. 39—65 (1922).

[11] H. L. Montgomery Ten Lectures on the Interface Between Analytic Number Theory and Harmonic Analysis, — Am. Math. Soc., 1994.

[12] A. A. Karatsuba Approximation of exponential sums by shorter ones, — Proc. Indian. Acad. Sci. (Math. Sci.) 97: 1—3, pp. 167—178 (1987).

[13] С. М. Воронин, А. А. Карацуба Дзета-функция Римана, — М.: Физматлит, 1994.

[14] А. А. Карацуба, М. А. Королёв Теорема о приближении тригонометрической суммы более короткой, — Известия РАН. Серия математики, т. 71, № 2, с. 123—150 (2007).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]