Специальная унитарная группа

Специальная унитарная группа — группа унитарных матриц заданного порядка с определителем, равным 1, и произведением матриц как групповой операцией; для матриц размером $n\times n$ обозначается $\mathrm {SU} (n)$.

Специальная унитарная группа является подгруппой унитарной группы $\mathrm {U} (n)$, состоящей из всех унитарных матриц $n\times n$:

$\operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {U} (n)\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$.

Группа $\mathrm {SU} (n)$ имеет $(n^{2}-1)$ параметр, так как матрица $n\times n$ содержит $n^{2}$ чисел, но одно из них не является независимым и определяется из условия равенства определителя единице. Соответственно, количество генераторов тоже равно $(n^{2}-1)$.

Генераторы

SU(2)

Для группы $\mathrm {SU} (2)$ генераторы известны как матрицы Паули:

00

$\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

SU(3)

Аналогом матриц Паули для $\mathrm {SU} (3)$ служат матрицы Гелл-Манна:

00	$\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
00	$\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$
00	$\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}$

Генераторы для $\mathrm {SU} (3)$ определяются как $T$ с использованием соотношения:

$T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}$.

Они подчиняются следующим соотношениям:

• $\left[T_{a},T_{b}\right]=i\sum _{c=1}^{8}{f_{abc}T_{c}}$, где $f$ — структурная константа, значения которой равны:

$f_{123}=1$,

$f_{147}=f_{165}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=f_{376}={\frac {1}{2}}$,

$f_{458}=f_{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$;

• $\operatorname {tr} (T_{a})=0$.

SU(4)

Эрмитовы матрицы генераторы для $\mathrm {SU} (4)$, аналогичные матрицам Паули и матрицам Гелл-Манна, имеют вид:

00	$\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0&0\\i&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$
00	$\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i&0\\0&0&0&0\\i&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$
00	$\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-i&0\\0&i&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-2&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{9}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}$
00	$\lambda _{10}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\i&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{11}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{12}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&-i\\0&0&0&0\\0&i&0&0\end{pmatrix}}$
00	$\lambda _{13}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{14}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-i\\0&0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{15}={\frac {1}{\sqrt {6}}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}$

Эти матрицы удовлетворяют выражению для следа:

$Tr{(\lambda _{k}^{2})}=2;k=1..15$

и тождеству Якоби:

$[[\lambda _{l},\lambda _{k}],\lambda _{j}]+[[\lambda _{k},\lambda _{j}],\lambda _{l}]+[[\lambda _{j},\lambda _{l}],\lambda _{k}]=0;j<k<l;j,k,l=1..15$

При этом коммутатор вычисляется как:

$[\lambda _{j},\lambda _{k}]=2i\sum _{m}f_{jkl}\lambda _{l}$

Таблица структурных констант $f_{jkl}$

$f_{1,2,3}=1$

$f_{1,4,7}=f_{2,4,6}=f_{2,5,7}=f_{3,4,5}=f_{1,9,12}=f_{2,9,11}=f_{2,10,12}=f_{3,9,10}=f_{4,9,14}=f_{5,10,14}=f_{6,11,14}=f_{7,11,13}=f_{7,12,14}={\frac {1}{2}}$

$f_{1,5,6}=f_{3,6,7}=f_{1,10,11}=f_{3,11,12}=f_{4,10,13}=f_{6,12,13}=-{\frac {1}{2}}$

$f_{4,5,8}=f_{6,7,8}=f_{8,9,10}=f_{8,11,12}=f_{9,10,15}=f_{11,12,15}=f_{13,14,15}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$

$f_{8,13,14}=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$

Литература

• Halzen, Francis; Martin, Alan. Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics (англ.). — John Wiley & Sons, 1984. — ISBN 0-471-88741-2.
• Займан Дж. Современная квантовая теория. — М.: Мир, 1971. — 288 с.
• Исаев А. П., Рубаков В. А.  Теория групп и симметрий. Конечные группы. Группы и алгебры Ли. — М.: УРСС, 2018. — 491 с.

Ссылки

• Physics 558 — Lecture 1, Winter 2003

См. также

• Специальная ортогональная группа