Q-тест Льюнг — Бокса

$Q$-тест Льюнг — Бокса — статистический критерий, предназначенный для нахождения автокорреляции временны́х рядов. Вместо тестирования на случайность каждого отдельного коэффициента, он проверяет на отличие от нуля сразу несколько коэффициентов автокорреляции.

Формальное определение

$Q$-тест Льюнг — Бокса может быть определён следующим образом. Выдвигаются две конкурирующие гипотезы:

$H_{0}$: данные являются случайными (то есть представляют собой белый шум).

$H_{a}$: данные не являются случайными.

Проводится статистическое испытание:

${\tilde {Q}}=n\left(n+2\right)\sum _{k=1}^{m}{\frac {{\hat {\rho }}_{k}^{2}}{n-k}},$

где $n$ — число наблюдений, ${\hat {\rho }}_{k}$ — автокорреляция $k$-го порядка, и $m$ — число проверяемых лагов. Если

${\tilde {Q}}>\chi _{1-\alpha ,\;m}^{2},$

где $\chi _{1-\alpha ,\;m}^{2}$ — квантили распределения хи-квадрат с $m$ степенями свободы, то нулевая гипотеза отвергается, и признаётся наличие автокорреляции до $m$-го порядка во временном ряду. $Q$-тест Льюнг — Бокса основан на статистике Бокса — Пирса. Так, он имеет такое же асимптотическое распределение и при относительно больших значениях числа наблюдений даёт схожие результаты. Но распределение теста Льюнг — Бокса ближе к $\chi ^{2}$ для конечных выборок. Кроме того, критерий не теряет своей состоятельности, даже если процесс не имеет нормального распределения (при наличии конечной дисперсии). $Q$-тест Льюнг — Бокса обычно используется при построении моделей ARIMA. При этом следует иметь в виду, что данное тестирование применяется к остаткам полученной модели ARIMA, а не к исходным данным.

См. также

• Критерий Дарбина — Уотсона
• Q-статистика Бокса — Пирса
• Метод рядов