Схема Эль-Гамаля

Схема Эль-Гамаля (Elgamal) — криптосистема с открытым ключом, основанная на трудности вычисления дискретных логарифмов в конечном поле. Криптосистема включает в себя алгоритм шифрования и алгоритм цифровой подписи. Схема Эль-Гамаля лежит в основе бывших стандартов электронной цифровой подписи в США (DSA) и России (ГОСТ Р 34.10-94).

Схема была предложена Тахером Эль-Гамалем в 1985 году^[1]. Эль-Гамаль разработал один из вариантов алгоритма Диффи-Хеллмана. Он усовершенствовал систему Диффи-Хеллмана и получил два алгоритма, которые использовались для шифрования и для обеспечения аутентификации. В отличие от RSA, алгоритм Эль-Гамаля не был запатентован и поэтому стал более дешёвой альтернативой, так как не требовалось оплаты взносов за лицензию. Считается, что алгоритм попадает под действие патента Диффи-Хеллмана.

Генерация ключей

Генерируется случайное простое число $p$ .
Выбирается целое число $g$ — первообразный корень $p$ .
Выбирается случайное целое число $x$ такое, что $(1<x<p-1)$ .
Вычисляется $y=g^{x}{\bmod {p}}$ .
Открытым ключом является $(y,g,p)$ , закрытым ключом — число $x$ .

Работа в режиме шифрования

Шифросистема Эль-Гамаля является фактически одним из способов выработки открытых ключей Диффи — Хеллмана.^{[источник не указан 1085 дней]} Шифрование по схеме Эль-Гамаля не следует путать с алгоритмом цифровой подписи по схеме Эль-Гамаля.

Шифрование

Сообщение $M$ должно быть меньше числа $p$ . Сообщение шифруется следующим образом:

Выбирается сессионный ключ — случайное целое число, $k$ такое, что $1<k<p-1$ .
Вычисляются числа $a=g^{k}{\bmod {p}}$ и $b=y^{k}M{\bmod {p}}$ .
Пара чисел $(a,b)$ является шифротекстом.

Нетрудно заметить, что длина шифротекста в схеме Эль-Гамаля вдвое больше исходного сообщения $M$ .

Расшифрование

Зная закрытый ключ $x$ , исходное сообщение можно вычислить из шифротекста $(a,b)$ по формуле:

M=b(a^{x})^{-1}{\bmod {p}}.

При этом нетрудно проверить, что

(a^{x})^{-1}=g^{-kx}{\bmod {p}}

и поэтому

b(a^{x})^{-1}=(y^{k}M)g^{-xk}\equiv (g^{xk}M)g^{-xk}\equiv M{\pmod {p}}

.

Для практических вычислений больше подходит следующая формула:

M=b(a^{x})^{-1}=ba^{(p-1-x)}{\pmod {p}}

Схема шифрования

Пример

Шифрование
1. Допустим, что нужно зашифровать сообщение $M=5$ .
2. Произведем генерацию ключей:
  1. Пусть $p=11,g=2$ . Выберем $x=8$ — случайное целое число $x$ такое, что $1<x<p$ .
  2. Вычислим $y=g^{x}{\bmod {p}}=2^{8}{\bmod {11}}=3$ .
  3. Итак, открытым ключом является тройка $(p,g,y)=(11,2,3)$ ,а закрытым ключом — число $x=8$ .
3. Выбираем случайное целое число $k$ такое, что 1 < k < (p − 1). Пусть $k=9$ .
4. Вычисляем число $a=g^{k}{\bmod {p}}=2^{9}{\bmod {11}}=512{\bmod {11}}=6$ .
5. Вычисляем число $b=y^{k}M{\bmod {p}}=3^{9}5{\bmod {11}}=19683\cdot 5{\bmod {11}}=9$ .
6. Полученная пара $(a,b)=(6,9)$ является шифротекстом.
Расшифрование
1. Необходимо получить сообщение $M=5$ по известному шифротексту $(a,b)=(6,9)$ и закрытому ключу $x=8$ .
2. Вычисляем M по формуле: $M=b(a^{x})^{-1}{\bmod {p}}=9(6^{8})^{-1}\mod {11}=5$
3. Получили исходное сообщение $M=5$ .

Так как в схему Эль-Гамаля вводится случайная величина $k$ ,то шифр Эль-Гамаля можно назвать шифром многозначной замены. Из-за случайности выбора числа $k$ такую схему ещё называют схемой вероятностного шифрования. Вероятностный характер шифрования является преимуществом для схемы Эль-Гамаля, так как у схем вероятностного шифрования наблюдается большая стойкость по сравнению со схемами с определённым процессом шифрования. Недостатком схемы шифрования Эль-Гамаля является удвоение длины зашифрованного текста по сравнению с начальным текстом. Для схемы вероятностного шифрования само сообщение $M$ и ключ не определяют шифротекст однозначно. В схеме Эль-Гамаля необходимо использовать различные значения случайной величины $k$ для шифровки различных сообщений $M$ и $M'$ . Если использовать одинаковые $k$ , то для соответствующих шифротекстов $(a,b)$ и $(a',b')$ выполняется соотношение $b(b')^{-1}=M(M')^{-1}$ . Из этого выражения можно легко вычислить $M'$ , если известно $M$ .

Работа в режиме подписи

Цифровая подпись служит для того чтобы можно было установить изменения данных и чтобы установить подлинность подписавшейся стороны. Получатель подписанного сообщения может использовать цифровую подпись для доказательства третьей стороне того, что подпись действительно сделана отправляющей стороной. При работе в режиме подписи предполагается наличие фиксированной хеш-функции $h(\cdot )$ , значения которой лежат в интервале $\left(1,p-1\right)$ .

Цифровая подпись по схеме Эль-Гамаля

Подпись сообщений

Для подписи сообщения $M$ выполняются следующие операции:

Вычисляется дайджест сообщения $M$ : $m=h(M).$ (Хеш функция может быть любая).
Выбирается случайное число $1<k<p-1$ взаимно простое с $p-1$ и вычисляется $r=g^{k}\,{\bmod {\,}}p.$
Вычисляется число $s\,=\,(m-xr)k^{-1}{\pmod {p-1}}$ , где $k^{-1}$ это мультипликативное обратное $k$ по модулю $p-1$ , которое можно найти, например, с помощью расширенного алгоритма Евклида.
Подписью сообщения $M$ является пара $\left(r,s\right)$ .

Проверка подписи

Зная открытый ключ $\left(p,g,y\right)$ , подпись $\left(r,s\right)$ сообщения $M$ проверяется следующим образом:

Проверяется выполнимость условий: $0<r<p$ и $0<s<p-1$ .
Если хотя бы одно из них не выполняется, то подпись считается неверной.
Вычисляется дайджест $m=h(M).$
Подпись считается верной, если выполняется сравнение:
$y^{r}r^{s}\equiv g^{m}{\pmod {p}}.$

Корректность проверки

Рассматриваемый алгоритм корректен в том смысле, что подпись, вычисленная по указанным выше правилам, будет принята при её проверке.

Преобразуя определение $s$ , имеем

m\,\equiv \,xr+sk{\pmod {p-1}}.

Далее, из Малой теоремы Ферма следует, что

{\begin{aligned}g^{m}&\equiv g^{xr}g^{ks}\\&\equiv (g^{x})^{r}(g^{k})^{s}\\&\equiv (y)^{r}(r)^{s}{\pmod {p}}.\\\end{aligned}}

Пример

Подпись сообщения.
1. Допустим, что нужно подписать сообщение $M=baaqab$ .
2. Произведем генерацию ключей:
  1. Пусть $p=23$ $g=5$ переменные, которые известны некоторому сообществу.
  2. Секретный ключ $x=7$ — случайное целое число $x$ такое, что $1<x<p$ .
  3. Вычисляем открытый ключ $y$ : $y=g^{x}{\bmod {p}}=5^{7}{\bmod {2}}3=17$ .
  4. Итак, открытым ключом является тройка $(p,g,y)=(23,5,17)$ .
3. Теперь вычисляем хеш-функцию: $h(M)=h(baaqab)=m=3$ .
4. Выберем случайное целое число $k$ такое, что выполняется условие $1<k<p-1$ . Пусть $k=5$ .
5. Вычисляем $r=g^{k}{\bmod {p}}=5^{5}{\bmod {2}}3=20$ .
6. Находим $k^{-1}$ . Такое число существует, так как НОД $(k,p-1)=1$ . Его можно найти с помощью расширенного алгоритма Евклида. Получим $k^{-1}=5^{-1}{\pmod {22}}=9$
7. Находим число $s\,\equiv \,(m-xr)k^{-1}{\pmod {p-1}}$ . Получим $s=21$ , так как $s=\,(3-7\cdot 20)5^{-1}{\pmod {22}}=21$
8. Итак, мы подписали сообщение: $<baaqab,20,21>$ .

Проверка подлинности полученного сообщения.
1. Вычисляем хеш-функцию: $h(M)=h(baaqab)=m=3$ .
2. Проверяем сравнение $y^{r}\cdot r^{s}{\pmod {p}}\equiv g^{m}{\pmod {p}}$ .
3. Вычислим левую часть по модулю 23: $17^{20}\cdot 20^{21}{\bmod {2}}3=16\cdot 15{\bmod {2}}3=10$ .
4. Вычислим правую часть по модулю 23: $5^{3}{\bmod {2}}3=10$ .
5. Так как правая и левая части равны, то это означает что подпись верна.

Главным преимуществом схемы цифровой подписи Эль-Гамаля является возможность вырабатывать цифровые подписи для большого числа сообщений с использованием только одного секретного ключа. Чтобы злоумышленнику подделать подпись, ему нужно решить сложные математические задачи с нахождением логарифма в поле

\mathbb {Z} _{p}

. Следует сделать несколько комментариев:

Случайное число $k$ должно сразу после вычисления подписи уничтожаться, так как если злоумышленник знает случайное число $k$ и саму подпись, то он легко может найти секретный ключ по формуле: $x=(m-ks)r^{-1}{\bmod {(}}p-1)$ и полностью подделать подпись.

Число $k$ должно быть случайным и не должно дублироваться для различных подписей, полученных при одинаковом значении секретного ключа.

Использование свертки $m=h(M)$ объясняется тем, что это защищает подпись от перебора сообщений по известным злоумышленнику значениям подписи. Пример: если выбрать случайные числа $i,j$ ,удовлетворяющие условиям $0<i<{p-1},0<j<{p-1}$ , НОД(j, p-1)=1 и предположить что
$r=g^{i}\cdot y^{-j}{\bmod {p}}$

$s=r\cdot j^{-1}{\bmod {(}}p-1)$

$m=r\cdot i\cdot j^{-1}{\bmod {(}}p-1)$

то легко удостовериться в том, что пара $(r,s)$ является верной цифровой подписью для сообщения $x=M$ .

Цифровая подпись Эль-Гамаля стала примером построения других подписей, схожих по своим свойствам. В их основе лежит выполнение сравнения: $y^{A}\cdot r^{B}=g^{C}(modp)$ , в котором тройка $(A,B,C)$ принимает значения одной из перестановок ±r, ±s и ±m при каком-то выборе знаков. Например, исходная схема Эль-Гамаля получается при $A=r$ , $B=s$ , $C=m$ .На таком принципе построения подписи сделаны стандарты цифровой подписи США и России. В американском стандарте DSS (Digital Signature Standard), используется значения $A=r$ , $B=-s$ , $C=m$ , а в Российском стандарте: $A=-x$ , $B=-m$ , $C=s$ .
Ещё одним из преимуществ является возможность уменьшения длины подписи с помощью замены пары чисел $(s,m)$ на пару чисел $(s{\bmod {q}},m{\bmod {q}}$ ), где $q$ является каким-то простым делителем числа $(p-1)$ . При этом сравнение для проверки подписи по модулю $p$ нужно заменить на новое сравнение по модулю $q$ : $(~y^{A}\cdot r^{B}){\bmod {p}}=g^{C}{\pmod {q}}$ . Так сделано в американском стандарте DSS (Digital Signature Standard).

Криптостойкость и особенности

В настоящее время криптосистемы с открытым ключом считаются наиболее перспективными. К ним относится и схема Эль-Гамаля, криптостойкость которой основана на вычислительной сложности проблемы дискретного логарифмирования, где по известным p, g и y требуется вычислить x, удовлетворяющий сравнению:

y\equiv g^{x}{\pmod {p}}.

ГОСТ Р34.10-1994, принятый в 1994 году в Российской Федерации, регламентировавший процедуры формирования и проверки электронной цифровой подписи, был основан на схеме Эль-Гамаля. С 2001 года используется новый ГОСТ Р 34.10-2001, использующий арифметику эллиптических кривых, определённых над простыми полями Галуа. Существует большое количество алгоритмов, основанных на схеме Эль-Гамаля: это алгоритмы DSA, ECDSA, KCDSA, схема Шнорра.

Сравнение некоторых алгоритмов:

Алгоритм	Ключ	Назначение	Криптостойкость, MIPS	Примечания
RSA	До 4096 бит	Шифрование и подпись	2,7•10²⁸ для ключа 1300 бит	Основан на трудности задачи факторизации больших чисел; один из первых асимметричных алгоритмов. Включен во многие стандарты
ElGamal	До 4096 бит	Шифрование и подпись	При одинаковой длине ключа криптостойкость равная RSA, т.е. 2,7•10²⁸ для ключа 1300 бит	Основан на трудной задаче вычисления дискретных логарифмов в конечном поле; позволяет быстро генерировать ключи без снижения стойкости. Используется в алгоритме цифровой подписи DSA-стандарта DSS
DSA	До 1024 бит	Только подпись		Основан на трудности задачи дискретного логарифмирования в конечном поле; принят в качестве гос. стандарта США; применяется для секретных и несекретных коммуникаций; разработчиком является АНБ.
ECDSA	До 4096 бит	Шифрование и подпись	Криптостойкость и скорость работы выше, чем у RSA	Современное направление. Разрабатывается многими ведущими математиками

Примечания

↑ Elgamal, 1985.

Литература

Elgamal T. A Public-Key Cryptosystem and a Signature Scheme Based on Discrete Logarithms, A Public Key Cryptosystem and a Signature Scheme Based on Discrete Logarithms (англ.) // IEEE Transactions on Information Theory / F. Kschischang — IEEE, 1985. — P. 10—18. — ISSN 0018-9448; 1557-9654 — doi:10.1109/TIT.1985.1057074; doi:10.1007/3-540-39568-7_2
Алфёров А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С., Черемушкин А.В. Основы криптографии.^{[уточнить]}
Б. А. Фороузан. Схема цифровой подписи Эль-Гамаля // Управление ключами шифрования и безопасность сети / Пер. А. Н. Берлин. — Курс лекций.
Menezes A. J., Oorschot P. v., Vanstone S. A. 11.5.2 The ElGamal signature scheme // Handbook of Applied Cryptography (англ.) — Boca Raton: CRC Press, 1997. — 816 p. — (Discrete Mathematics and Its Applications) — ISBN 978-0-8493-8523-0

[_9096049fb2527be9-1] Elgamal, 1985.

[1]