Доказательство от противного

Доказательство «от противного» (лат. contradictio in contrarium), или апагогическое косвенное доказательство, — вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение отрицания этого суждения — антитезиса. Этот способ доказательства основывается на истинности закона двойного отрицания в классической логике.

Этот способ очень важен для математики, где существует много суждений, которые не могут быть доказаны по-другому.

Схема доказательства

Доказательство утверждения $A$ проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение $A$ неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение $B$, которое заведомо неверно.

Из определения импликации следует, что, если $B$ ложно, то формула $\neg A\Rightarrow B$ истинна тогда и только тогда, когда $\neg A$ ложно, следовательно утверждение $A$ истинно.

Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение $\neg \neg A$, которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению $A$.

В интуиционистской логике доказательство от противного не принимается, так же как не действует закон исключённого третьего.

Примеры

В математике

Доказательство иррациональности числа ${\sqrt {2}}$.

Допустим противное: число ${\sqrt {2}}$ рационально, то есть представляется в виде несократимой дроби ${\frac {m}{n}}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

${\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}$ $\Rightarrow$ $2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}$, откуда $m^{2}=2n^{2}$.

Отсюда следует, что $m^{2}$ чётно, значит, чётно и $m$; следовательно, $m^{2}$ делится на 4, а значит, $n^{2}$ и $n$ тоже чётны. Полученное утверждение противоречит несократимости дроби ${\frac {m}{n}}$. Значит, исходное предположение было неверным, и ${\sqrt {2}}$ — иррациональное число.

В повседневной жизни

Врач, разъясняя пациенту что тот не болен гриппом, может использовать такие рассуждения: «Если бы вы действительно были больны гриппом, то у вас была бы повышена температура, был заложен нос и т. д. Но всё это у вас отсутствует, значит, нет и гриппа».

См. также

• Приведение к абсурду (апагогия)
• Метод бесконечного спуска