3d-гипотеза Калая

3^d-гипотеза Калая — гипотеза о минимальном числе граней у центрально-симметричных многогранников. Сформулирована Калаем в 1989 году.

Гипотеза доказана для $d\leq 4$ и остается открытой для произвольных многогранников в высших измерениях.

Формулировка

У каждого d-мерного центрально-симметричного многогранника есть, по крайней мере, 3^d непустых граней.

Имеются в виду грани всех размерностей, то есть вершины — это нульмерные грани, ребра — одномерные грани, ..., сам многогранник — d-мерная грань. Таким образом для куба получаем 8 вершин + 12 рёбер + 6 двумерных граней + сам куб = 27 = 3³.

Замечания

• Равенство достигается для произвольного многогранника Ханнера.
  • В частности для квадрата, куба, октаэдра.

Вариации и обобщения

• В той же статье Калай сформулировал более сильный вариант гипотезы. А именно, что f-вектор каждого выпуклого центрально-симметричного многогранника $P$ доминирует в f-вектор, по крайней мере, одного многогранника Ханнера $H$ той же размерности. Это означает, что число граней произвольной размерности у $H$ не превышает числа граней той же размерности у $P$.