Эквиаффинная геометрия

Эквиаффи́нная, или унимодуля́рная, геоме́трия (от глат. unus — один и модуль), — геометрия аффинной унимодулярной группы преобразований. Важнейший факт — сохранение площадей и объёмов фигур.

Аналитическое представление аффинной группы на плоскости в неоднородных координатах, имеющее вид

$x^{\prime }=a_{1}x+b_{1}y+c_{1}$,

$y^{\prime }=a_{2}x+b_{2}y+c_{2}$,

есть представление также и унимодулярной аффинной группы, если определитель его матрицы равен $\pm 1$:

${\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}=\pm 1$.

Поскольку аффинная унимодулярная группа есть подгруппа общей аффинной группы, множество всех объектов эквиаффинной геометрии включает в себя множество всех объектов общей аффинной геометрии. При этом эквиаффинная геометрия имеет объекты, которых нет в общей аффинной геометрии, так как множество инвариантов общей аффинной группы есть подмножество инвариантов аффинной унимодулярной группы.

Площадь треугольника с произвольными вершинами $M_{1}(x_{1},y_{1}),$ $M_{2}(x_{2},y_{2})$ и $M_{3}(x_{3},y_{3})$ — абсолютная величина $\left|{\frac {1}{2}}\Delta \right|,$ где определитель

$\Delta ={\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}.$

Имеет место следующее утверждение:

• площадь треугольника с тремя любыми вершинами на аффинной плоскости есть инвариант трёх точек унимодулярной аффинной группы.

Доказательство

Пусть аффинное унимодулярное преобразование отображает три любые точки аффинной плоскости $M_{1}(x_{1},y_{1}),$ $M_{2}(x_{2},y_{2})$ и $M_{3}(x_{3},y_{3})$ в три точки соответственно $M_{1}^{\prime }(x_{1}^{\prime },y_{1}^{\prime }),$ $M_{2}^{\prime }(x_{2}^{\prime },y_{2}^{\prime })$ и $M_{3}^{\prime }(x_{3}^{\prime },y_{3}^{\prime })$. Прямым вычислением, используя свойства определителя, перепишем определитель:

$\Delta ^{\prime }={\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}^{\prime }&x_{2}^{\prime }&x_{3}^{\prime }\\y_{1}^{\prime }&y_{2}^{\prime }&y_{3}^{\prime }\end{vmatrix}}=$

$={\begin{vmatrix}1&1&1\\a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}&a_{1}x_{2}+b_{1}y_{2}+c_{1}&a_{1}x_{3}+b_{1}y_{3}+c_{1}\\a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}&a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2}&a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}+c_{2}\end{vmatrix}}=$

$={\begin{vmatrix}1&1&1\\c_{1}&c_{1}&c_{1}\\a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}&a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2}&a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}+c_{2}\end{vmatrix}}+$ ${}+{\begin{vmatrix}1&1&1\\a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}&a_{1}x_{2}+b_{1}y_{2}&a_{1}x_{3}+b_{1}y_{3}\\a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}&a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2}&a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}+c_{2}\end{vmatrix}}=$

$={\begin{vmatrix}1&1&1\\a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}&a_{1}x_{2}+b_{1}y_{2}&a_{1}x_{3}+b_{1}y_{3}\\a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}&a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2}&a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}+c_{2}\end{vmatrix}}=$

$={\begin{vmatrix}1&1&1\\a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}&a_{1}x_{2}+b_{1}y_{2}&a_{1}x_{3}+b_{1}y_{3}\\a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}&a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}&a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}\end{vmatrix}}=$

$=a_{1}{\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}&a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}&a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}\end{vmatrix}}+{}$
${}+b_{1}{\begin{vmatrix}1&1&1\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}&a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}&a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}\end{vmatrix}}=$

$=a_{1}a_{2}{\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{vmatrix}}+a_{1}b_{2}{\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}+{}$
${}+b_{1}{\begin{vmatrix}1&1&1\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}&a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}&a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}\end{vmatrix}}=$

$=a_{1}b_{2}{\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}+{}$
${}+b_{1}{\begin{vmatrix}1&1&1\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}&a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}&a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}\end{vmatrix}}=$

$=a_{1}b_{2}{\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}+a_{2}b_{1}{\begin{vmatrix}1&1&1\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{vmatrix}}=$

$=a_{1}b_{2}{\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}-a_{2}b_{1}{\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}=$

$={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}=$
$=\pm {\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}=\pm \Delta .$

Итак, $\Delta ^{\prime }=\pm \Delta$, то есть абсолютная величина определителя $\Delta$ матрицы $3\times 3$ — инвариант трёх произвольных точек $M_{1}(x_{1},y_{1}),$ $M_{2}(x_{2},y_{2})$ и $M_{3}(x_{3},y_{3})$ унимодулярной аффинной группы.

Отсюда в эквиаффинной геометрии можно определить следующие площади:

• площадь многоугольника равна сумме площадей треугольников, на которые он разбит;
• площадь криволинейной фигуры равна пределу последовательности площадей многоугольников, сходящихся к фигуре.

Источники

• Бескин Н. М. Методы изображений // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 228—290.
• Ефимов Н. В. Высшая геометрия. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 584 с. ISBN 5-9221-0267-2.
• Сидоров Л. А. Эквиаффинная геометрия // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 942.
• Сидоров Л. А. Эквиаффинная плоскость // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 942.
• Подера // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 601.
• Широков А. П. Аффинная унимодулярная группа // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 359.