Характер (теория чисел)

Характер (или числовой характер, или характер Дирихле), это определённая арифметическая функция, которая возникает из вполне мультипликативных^[англ.] характеров на обратимых элементах $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$ . Характеры Дирихле используются для определения L-функций Дирихле, которые являются мероморфными функциями со множеством интересных аналитических свойств. Если $\chi$ является характером Дирихле, его L-ряд Дирихле определяется равенством

L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}

где s — комплексное число с вещественной частью > 1. Путём аналитического продолжения эта функция может быть продолжена до мероморфной функции на всей комплексной плоскости. L-функции Дирихле являются обобщением дзета-функции Римана и заметно проявляются в обобщённых гипотезах Римана.

Характеры Дирихле названы в честь Петера Густава Лежёна Дирихле.

Аксиоматическое определение

Характер Дирихле — это любая функция $\chi$ на множестве целых чисел $\mathbb {Z}$ с комплексными значениями, имеющая следующие свойства^[1]:

Существует положительное целое число k, такое что $\chi (n)=\chi (n+k)$ для любых n.
Если n и k не взаимно просты, то $\chi (n)=0$ ; если же они взаимно просты, $\chi (n)\neq 0$ .
$\chi (mn)=\chi (m)\chi (n)$ для любых целых m и n.

Из этого определения можно вывести некоторые другие свойства. Согласно свойству 3) $\chi (1)=\chi (1\times 1)=\chi (1)\chi (1)$ . Поскольку НОД(1, k) = 1, свойство 2) гласит, что $\chi (1)\neq 0$ , так что

$\chi (1)=1$ .

Свойства 3) и 4) показывают, что любой характер Дирихле $\chi$ является вполне мультипликативным^[англ.] характером.

Свойство 1) говорит, что характер является периодической функцией с периодом k. Мы говорим, что $\chi$ является характером по модулю k. Это эквивалентно утверждению, что

если $a\equiv b{\pmod {k}}$ , то $\chi (a)=\chi (b)$ .

Если НОД(a,k) = 1, теорема Эйлера утверждает, что $a^{\varphi (k)}\equiv 1{\pmod {k}}$ (где $\varphi (k)$ является функцией Эйлера). Таким образом, согласно свойствам 5) и 4), $\chi (a^{\varphi (k)})=\chi (1)=1$ , а по свойству 3) $\chi (a^{\varphi (k)})=\chi (a)^{\varphi (k)}$ . Следовательно,

Для всех a, взаимно простых с k, $\chi (a)$ является $\varphi (k)$ -ым комплексным корнем из единицы,

то есть $e^{2ri\pi /\varphi (k)}$ для некоторого целого $0\leqslant r<\varphi (k)$ .

Единственный характер с периодом 1 называется тривиальным характером. Заметим, что любой характер обращается в 0 в точке 0, за исключением тривиального, который равен 1 для всех целых чисел.

Характер, принимающий значение 1 на всех числах, взаимно простых с $k$ , называется главным:
$\chi _{0}(n)=\left\{{\begin{array}{ll}1,&{\text{НОД}}(n,\;k)=1;\\0,&{\text{НОД}}(n,\;k)\neq 1.\end{array}}\right.$ ^[2].
- В группе характеров по модулю $k$ он играет роль единицы.

Характер называется вещественным, если он принимает только вещественные значения. Характер, не являющийся вещественным, называется комплексным^[3]

Знак характера $\chi$ зависит от его значения в точке −1. Говорят, что $\chi$ нечётный, если $\chi (-1)=-1$ , и чётный, если $\chi (-1)=1$ .

Построение через классы вычетов

Характеры Дирихле могут рассматриваться в терминах группы характеров^[англ.] группы обратимых элементов кольца $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$ как расширенные характеры классов вычетов^[4].

Классы вычетов

Если дано целое число k, можно определить класс вычета целого числа n как множество всех целых чисел, сравнимых с n по модулю k: ${\hat {n}}=\{m\mid m\equiv n{\pmod {k}}\}.$ То есть класс вычетов ${\hat {n}}$ является классом смежности n в факторкольце $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$ .

Множество обратимых элементов по модулю k образует абелеву группу порядка $\varphi (k)$ , где умножение в группе задаётся равенством ${\widehat {mn}}={\hat {m}}{\hat {n}}$ , а $\varphi$ снова означает функцию Эйлера. Единицей в этой группе служит класс вычетов ${\hat {1}}$ , а обратным элементом для ${\hat {m}}$ является класс вычетов ${\hat {n}}$ , где ${\hat {m}}{\hat {n}}={\hat {1}}$ , то есть $mn\equiv 1{\pmod {k}}$ . Например, для k=6 множеством обратимых элементов является $\{{\hat {1}},{\hat {5}}\}$ , поскольку 0, 2, 3 и 4 не взаимно просты с 6.

Группа характеров $(\mathbb {Z} /k)^{*}$ состоит из характеров классов вычетов. Характер класса вычетов $\theta$ на $(\mathbb {Z} /k)^{*}$ примитивен, если нет собственного делителя d для k, такого что $\theta$ факторизуются как $(\mathbb {Z} /k)^{*}\to (\mathbb {Z} /d)^{*}\to \mathbb {C} ^{*}$ ^[5].

Характеры Дирихле

Определение характера Дирихле по модулю k обеспечивает, чтобы он был ограничен характером^[англ.] группы обратимых элементов по модулю k^[6]: группа гомоморфизмов $\chi$ из $(\mathbb {Z} /k)^{*}$ в ненулевые комплексные числа

\chi :(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\to \mathbb {C} ^{*}

,

со значениями, которые обязательно будут корнями из единицы, поскольку обратимые элементы по модулю k образуют конечную группу. В обратном направлении, если дана группа гомоморфизмов $\chi$ на группе обратимых элементов по модулю k, мы можем поднять^[англ.] до вполне мультипликативной^[англ.] функции на целых числах, взаимно простых с k, а затем расширить эту функцию на все целые числа путём присвоения значения 0 на всех целых числах, имеющих нетривиальные делители, общие с k. Получающаяся функция будет тогда характером Дирихле^[7].

Главный характер $\chi _{1}$ по модулю k имеет свойства ^[7]

\chi _{1}(n)=1

при НОД(n, k) = 1 и

\chi _{1}(n)=0

при НОД(n, k) > 1.

Ассоциированный характер мультипликативной группе $(\mathbb {Z} /k)^{*}$ является главным характером, который всегда принимает значение 1^[8].

Когда k равен 1, главный характер по модулю k равен 1 на всех целых чисел. Для k, большего 1, главные характеры по модулю k обращаются в нуль в целых числах, имеющих ненулевые общие множители с k, и равно 1 на других целых числах.

Имеется $\varphi (n)$ характеров Дирихле по модулю n^[7].

Примеры

Для любого нечётного модуля $k$ символ Якоби $\left({\frac {n}{k}}\right)$ является характером по модулю $k$ .
Степенной вычет степени выше 2 — это невещественный характер.

Некоторые таблицы характеров

Таблицы ниже помогают иллюстрировать природу характеров Дирихле. Они представляют характеры по модулю от 1 до 10. Характеры $\chi _{1}$ являются главными характерами.

По модулю 1

Существует $\varphi (1)=1$ характер по модулю 1:

$\chi \setminus n$	0
$\chi _{1}(n)$	1

Это тривиальный характер.

По модулю 2

Существует $\varphi (2)=1$ характер по модулю 2:

$\chi \setminus n$	0	1
$\chi _{1}(n)$	0	1

Заметим, что $\chi$ полностью определяется значением $\chi (1)$ , поскольку 1 порождает группу обратимых элементов по модулю 2.

По модулю 3

Есть $\varphi (3)=2$ характера по модулю 3:

$\chi \setminus n$	1	2
$\chi _{1}(n)$	1	1
$\chi _{2}(n)$	1	−1

Заметим, что $\chi$ полностью определяется значением $\chi (2)$ , поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 3.

По модулю 4

Существует $\varphi (4)=2$ характера по модулю 4:

$\chi \setminus n$	1	2	3
$\chi _{1}(n)$	1	0	1
$\chi _{2}(n)$	1	0	−1

Заметим, что $\chi$ полностью определяется значением $\chi (3)$ , поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 4.

L-ряд Дирихле для $\chi _{1}(n)$ равен лямбда-функции Дирихле (тесно связанной с эта-функцией Дирихле)

L(\chi _{1},s)=(1-2^{-s})\zeta (s)

,

где $\zeta (s)$ является дзета-функцией Римана. L-ряд для $\chi _{2}(n)$ является бета-функцией Дирихле

L(\chi _{2},s)=\beta (s).\,

По модулю 5

Существует $\varphi (5)=4$ характеров по модулю 5. В таблицах i является квадратным корнем из $-1$ .

$\chi \setminus n$	1	2	3	4
$\chi _{1}(n)$	1	1	1	1
$\chi _{2}(n)$	1	i	−i	−1
$\chi _{3}(n)$	1	−1	−1	1
$\chi _{4}(n)$	1	−i	i	−1

Заметим, что $\chi$ полностью определяется значение $\chi (2)$ , поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 5.

По модулю 6

Существует $\varphi (6)=2$ характеров по модулю 6:

$\chi \setminus n$	1	2	3	4	5
$\chi _{1}(n)$	1	0	0	0	1
$\chi _{2}(n)$	1	0	0	0	−1

Заметим, что $\chi$ полностью определяется значением $\chi (5)$ , поскольку 5 порождает группу обратимых элементов по модулю 6.

По модулю 7

Существует $\varphi (7)=6$ характеров по модулю 7. В таблице ниже $\omega =\exp(\pi i/3).$

$\chi \setminus n$	1	2	3	4	5	6
$\chi _{1}(n)$	1	1	1	1	1	1
$\chi _{2}(n)$	1	$\omega ^{2}$	$\omega$	$-\omega$	$-\omega ^{2}$	−1
$\chi _{3}(n)$	1	− $\omega$	$\omega ^{2}$	$\omega ^{2}$	$-\omega$	1
$\chi _{4}(n)$	1	1	−1	1	−1	−1
$\chi _{5}(n)$	1	$\omega ^{2}$	$-\omega$	$-\omega$	$\omega ^{2}$	1
$\chi _{6}(n)$	1	$-\omega$	$-\omega ^{2}$	$\omega ^{2}$	$\omega$	−1

Заметим, что $\chi$ полностью определяется значением $\chi (3)$ , поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 7.

По модулю 8

Существует $\varphi (8)=4$ характеров по модулю 8.

$\chi \setminus n$	1	2	3	4	5	6	7
$\chi _{1}(n)$	1	0	1	0	1	0	1
$\chi _{2}(n)$	1	0	1	0	−1	0	−1
$\chi _{3}(n)$	1	0	−1	0	1	0	−1
$\chi _{4}(n)$	1	0	−1	0	−1	0	1

Заметим, что $\chi$ полностью определяется значениями $\chi (3)$ и $\chi (5)$ , поскольку 3 и 5 порождают группу обратимых элементов по модулю 8.

По модулю 9

Существует $\varphi (9)=6$ характеров по модулю 9. В таблице ниже $\omega =\exp(\pi i/3).$

$\chi \setminus n$	1	2	3	4	5	6	7	8
$\chi _{1}(n)$	1	1	0	1	1	0	1	1
$\chi _{2}(n)$	1	$\omega$	0	$\omega ^{2}$	$-\omega ^{2}$	0	$-\omega$	−1
$\chi _{3}(n)$	1	$\omega ^{2}$	0	$-\omega$	$\omega$	0	$\omega ^{2}$	1
$\chi _{4}(n)$	1	−1	0	1	−1	0	1	−1
$\chi _{5}(n)$	1	$-\omega$	0	$\omega ^{2}$	$\omega ^{2}$	0	$-\omega$	1
$\chi _{6}(n)$	1	$-\omega ^{2}$	0	$-\omega$	$\omega$	0	$\omega ^{2}$	−1

Заметим, что $\chi$ полностью определяется значением $\chi (2)$ , поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 9.

По модулю 10

Существует $\varphi (10)=4$ характеров по модулю 10.

$\chi \setminus n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\chi _{1}(n)$	1	0	1	0	0	0	1	0	1
$\chi _{2}(n)$	1	0	i	0	0	0	−i	0	−1
$\chi _{3}(n)$	1	0	−1	0	0	0	−1	0	1
$\chi _{4}(n)$	1	0	−i	0	0	0	i	0	−1

Заметим, что $\chi$ полностью определяется значением $\chi (3)$ , поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 10.

Примеры

Если p является нечётным простым числом, то функция

\chi (n)=\left({\frac {n}{p}}\right),\

где

\left({\frac {n}{p}}\right)

является символом Лежандра, является примитивным характером Дирихле по модулю p^[9].

Более обще, если m является положительным нечётным числом, функция

\chi (n)=\left({\frac {n}{m}}\right),\

где

\left({\frac {n}{m}}\right)

является символом Якоби, является характером Дирихле по модулю m^[9].

Это квадратичные характеры — в общем случае примитивные квадратичные характеры возникают в точности из cимвола Кронекера — Якоби^[10].

Примитивные характеры и кондуктор

При переходе от вычетов по модулю N к вычетам по модулю M для любого множителя M числа N происходит потеря информации. Эффект характеров Дирихле дает противоположный результат – если $\chi *$ является характером по модулю M, он индуцирует характер $\chi *$ по модулю N для любого N, кратного M. Характер является примитивным, если он не индуцируется каким-либо характером по меньшему модулю^[3].

Если $\chi$ – характер по модулю n и d делит n, мы говорим, что модуль d является индуцированным модулем для $\chi$ , если $\chi (a)=1$ для всех a, взаимно простых с n и 1 mod d^[11]: характер примитивен, если нет меньшего индуцированного модуля^[12].

Мы можем это формализовать различным образом путём определения характеров $\chi _{1}\mod N_{1}$ и $\chi _{2}\mod N_{2}$ как согласованных, если для некоторого модуля N, такого что N₁ и N₂ оба делят N, мы имеем $\chi _{1}(n)=\chi _{2}(n)$ для всех n взаимно простых с N, то есть существует некоторый характер $\chi *$ , порождённый как $\chi _{1}$ , так и $\chi _{2}$ . Это отношение эквивалентности на характерах. Характер с наименьшим модулем в классе эквивалентности является примитивным, и этот наименьший модуль является кондуктором характеров в классе.

Непримитивность характеров может привести к отсутствию эйлеровых множителей^[англ.] в их L-функциях.

Ортогональность характеров

Ортогональность характеров конечной группы переносится на характеры Дирихле^[13].

Если мы зафиксируем характер $\chi$ по модулю n, то

\sum _{a{\bmod {n}}}\chi (a)=0

,

если $\chi$ не главный характер, иначе сумма равна $\varphi (n)$ .

Аналогично, если зафиксировать класс вычетов a по модулю n, то сумма по всем характерам даёт

\sum _{\chi }\chi (a)=0

,

кроме случая a=1, когда сумма равна $\varphi (n)$ .

Отсюда делаем вывод, что любая периодическая функция с периодом n над классом вычетов, взаимно простых с n, является линейной комбинацией характеров Дирихле^[14].

История

Характеры Дирихле вместе с их $L$ -рядами были введены Дирихле в 1831 году, в рамках доказательства теоремы Дирихле о бесконечности числа простых чисел в арифметических прогрессиях. Он изучал их только для $s\in \mathbb {R}$ и в основном когда $s$ стремится к 1. Расширение этих функций на всю комплексную плоскость было получено Риманом в 1859 году.

См. также

Примечания

↑ Montgomery, Vaughan, 2007, с. 117-8.
↑ Montgomery, Vaughan, 2007, с. 115.
↑ ¹ ² Montgomery, Vaughan, 2007, с. 123.
↑ Fröhlich, Taylor, 1991, с. 218.
↑ Fröhlich, Taylor, 1991, с. 215.
↑ Apostol, 1976, с. 139.
↑ ¹ ² ³ Apostol, 1976, с. 138.
↑ Apostol, 1976, с. 134.
↑ ¹ ² Montgomery, Vaughan, 2007, с. 295.
↑ Montgomery, Vaughan, 2007, с. 296.
↑ Apostol, 1976, с. 166.
↑ Apostol, 1976, с. 168.
↑ Apostol, 1976, с. 140.
↑ Davenport, 1967, с. 31–32.

Литература

Apostol T. M. Introduction to analytic number theory. — New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. — (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-90163-3.
Apostol T. M. Some properties of completely multiplicative arithmetical functions // The American Mathematical Monthly. — 1971. — Т. 78, вып. 3. — С. 266–271. — doi:10.2307/2317522. — JSTOR 2317522.
Harold Davenport. Multiplicative number theory. — Chicago: Markham, 1967. — Т. 1. — (Lectures in advanced mathematics).
- Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. — М.: «Наука», 1971.
Helmut Hasse. Vorlesungen über Zahlentheorie. — 2nd revised. — Springer-Verlag. — Т. 59. — (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen). см. главу 13.
- Хассе Г. Лекции по теории чисел. — М.: Иностранной литературы, 1953.
Mathar, R. J. (2010). "Table of Dirichlet L-series and prime zeta modulo functions for small moduli". arXiv:1008.2547 [math.NT].
Hugh L Montgomery, Robert C. Vaughan. Multiplicative number theory. I. Classical theory. — Cambridge University Press, 2007. — Т. 97. — (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 0-521-84903-9.
- Монтгомери Г. Мультипликативная теория чисел. — М.: «Мир», 1974.
Robert Spira. Calculation of Dirichlet L-Functions // Mathematics of Computation. — 1969. — Т. 23, вып. 107. — С. 489–497. — doi:10.1090/S0025-5718-1969-0247742-X.
Fröhlich A., Taylor M.J. Algebraic number theory. — Cambridge University Press, 1991. — Т. 27. — (Cambridge studies in advanced mathematics). — ISBN 0-521-36664-X.

Литература

Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.
Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.

[_e432d67eb054af6b-1] Montgomery, Vaughan, 2007, с. 117-8.

[_f3b949ef7bb7e706-2] Montgomery, Vaughan, 2007, с. 115.

[_f3b94aef7bb7e8d5-3] ¹ ² Montgomery, Vaughan, 2007, с. 123.

[_33e29a09afb16ce0-4] Fröhlich, Taylor, 1991, с. 218.

[_33e29a09afb16ced-5] Fröhlich, Taylor, 1991, с. 215.

[_c30ac224927b0cfd-6] Apostol, 1976, с. 139.

[_c30ac224927b0cfc-7] ¹ ² ³ Apostol, 1976, с. 138.

[_c30ac224927b0cf0-8] Apostol, 1976, с. 134.

[_f3c3d1ef7bc122e5-9] ¹ ² Montgomery, Vaughan, 2007, с. 295.

[_f3c3d1ef7bc122e6-10] Montgomery, Vaughan, 2007, с. 296.

[_c30abf24927b079d-11] Apostol, 1976, с. 166.

[_c30abf24927b0793-12] Apostol, 1976, с. 168.

[_c30ac124927b0b21-13] Apostol, 1976, с. 140.

[_09a5d9ce8595eb27-14] Davenport, 1967, с. 31–32.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]