Функция Уолша

Функциями Уолша называется семейство функций, образующих ортогональную систему, принимающих значения только +1 и −1 на всей области определения.

Графики первых четырёх функций Уолша

В принципе, функции Уолша могут быть представлены в непрерывной форме, но чаще их определяют как дискретные последовательности из $2^{n}$ элементов. Группа из $2^{n}$ функций Уолша образует матрицу Адамара.

Функции Уолша получили широкое распространение в радиосвязи, где с их помощью осуществляется кодовое разделение каналов (CDMA), например, в таких стандартах сотовой связи, как IS-95, CDMA2000 или UMTS.

Система функций Уолша является ортонормированным базисом и, как следствие, позволяет раскладывать сигналы произвольной формы в обобщённый ряд Фурье.

Обобщением функций Уолша на случай более чем двух значений являются функции Виленкина — Крестенсона.

Обозначение

Пусть функция Уолша определена на интервале [0, T]; за пределами этого интервала функция периодически повторяется. Введём безразмерное время $\theta =t/T$. Тогда функция Уолша под номером k обозначается как $\operatorname {wal} (k,\theta )$. Нумерация функций зависит от метода упорядочения функций. Существует упорядочение по Уолшу — в этом случае функции обозначаются так, как описано выше. Также распространены упорядочения по Пэли ($\operatorname {pal} (p,\theta )$) и по Адамару ($\operatorname {had} (h,\theta )$).

Относительно момента $\theta =0$ функции Уолша можно разделить на чётные и нечётные. Они обозначаются как $\operatorname {cal} (k,\theta )$ и $\operatorname {sal} (k,\theta )$ соответственно. Эти функции аналогичны тригонометрическим синусам и косинусам. Связь между этими функциями выражается следующим образом:

$\operatorname {cal} (k,\theta )=\operatorname {wal} (2k,\theta ),$

$\operatorname {sal} (k,\theta )=\operatorname {wal} (2k-1,\theta ).$

Формирование

Существует несколько способов формирования. Рассмотрим один из них, наиболее наглядный: матрица Адамара может быть сформирована рекурсивным методом с помощью построения блочных матриц по следующей общей формуле:

$H_{2^{n}}={\begin{bmatrix}H_{2^{n-1}}&H_{2^{n-1}}\\H_{2^{n-1}}&-H_{2^{n-1}}\end{bmatrix}}.$

Так может быть сформирована матрица Адамара длины $2^{n}$:

$H_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},$

$H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}},$

$H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}},$

$H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\end{bmatrix}},$

Каждая строка матрицы Адамара и является функцией Уолша.

В данном случае функции упорядочены по Адамару. Номер функции по Уолшу вычисляется из номера функции по Адамару путём перестановки битов в двоичной записи номера в обратном порядке с последующим преобразованием результата из кода Грея.

Пример

Номер по Уолшу	Двоичная форма	Преобразование из кода Грея	Перестановка бит	Номер по Адамару
0	000	000	000	0
1	001	001	100	4
2	010	011	110	6
3	011	010	010	2
4	100	110	011	3
5	101	111	111	7
6	110	101	101	5
7	111	100	001	1

В итоге получается матрица Уолша, в которой функции упорядочены по Уолшу:

$W_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\end{bmatrix}}.$

Свойства

1. Ортогональность

Скалярное произведение двух разных функций Уолша равно нулю:

$\int \limits _{0}^{1}\operatorname {wal} (n,\theta )\cdot \operatorname {wal} (k,\theta )\,d\theta =0\qquad {\text{при }}k\neq n.$

Пример

Допустим, что n = 1, k = 3 (см. выше). Тогда

$\int \limits _{0}^{1}\operatorname {wal} (1,\theta )\cdot \operatorname {wal} (3,\theta )\,d\theta =$

$=\int \limits _{0}^{1/4}1^{2}\,d\theta +\int \limits _{1/4}^{1/2}1\cdot (-1)\,d\theta +\int \limits _{1/2}^{3/4}(-1)\cdot 1\,d\theta +\int \limits _{3/4}^{1}(-1)^{2}\,d\theta =0.$

2. Мультипликативность

Произведение двух функций Уолша даёт функцию Уолша:

$\operatorname {wal} (n,\theta )\cdot \operatorname {wal} (k,\theta )=\operatorname {wal} (i,\theta ),$

где $i=n\oplus k$ — поразрядное сложение по модулю 2 номеров в двоичной системе.

Пример

Допустим, что n = 1, k = 3. Тогда

$n\oplus k=01_{2}\oplus 11_{2}=10_{2}=2.$

В результате умножения получим:

${\begin{array}{|c|c|c|c||c|}&&&&n\\\hline 1&1&-1&-1&\operatorname {wal} (1,\theta )\\1&-1&1&-1&\operatorname {wal} (3,\theta )\\\hline 1&-1&-1&1&\operatorname {wal} (2,\theta )\\\end{array}}$

Преобразование Уолша — Адамара

Является частным случаем обобщённого преобразования Фурье, в котором базисом выступает система функций Уолша.

Обобщённый ряд Фурье представляется формулой

$S(t)=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}\cdot u_{i}(t),$

где $u_{i}$ это одна из базисных функций, а $c_{i}$ — коэффициент.

Разложение сигнала по функциям Уолша имеет вид

$S(t)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}\cdot \operatorname {wal} (k,t/T).$

В дискретной форме формула запишется следующим образом:

$S(n)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}\cdot \operatorname {wal} (k,n).$

Определить коэффициенты $c_{i}$ можно, осуществив скалярное произведение раскладываемого сигнала на соответствующую базисную функцию Уолша:

$c_{k}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}S(t)\cdot \operatorname {wal} (k,t/T)\,dt.$

Следует учитывать периодический характер функций Уолша.

Существует также быстрое преобразование Уолша. Оно является в значительной степени более эффективным, чем преобразование Уолша — Адамара. Кроме того, для частного случая с двумя переменными функции Уолша обобщены как поверхности. Также существуют восемь аналогичных функциям Уолша базисов ортогональных бинарных функций, отличающихся нерегулярной структурой, которые также обобщены на случай функций двух переменных. Для каждого из восьми базисов доказано представление «ступенчатых» функций в виде конечной суммы бинарных функций, взвешиваемых с соответствующими коэффициентами.

Литература

• Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. — М.: Высшая школа, 2005. — ISBN 5-06-003843-2.
• Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша: теория и применения. — М.: Наука, 1987.
• Залманзон Л. А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. — М.: Наука, 1989. — ISBN 5-02-014094-5.

См. также

• Базис Хаара
• Матрица Адамара
• Коэффициент Уолша
• Ортонормированная система
• Ортогональный базис
• Ряд Фурье