Пусть
(
M
,
g
)
{\displaystyle (M,g)}
(
N
,
h
)
{\displaystyle (N,h)}
римановы многообразия .
Гладкое отображение
f
:
(
M
,
g
)
→
(
N
,
h
)
{\displaystyle f\colon (M,g)\to (N,h)}
римановой субмерсией , если для любой точки
x
{\displaystyle x}
вложение
ı
x
:
T
f
(
x
)
N
→
T
x
M
{\displaystyle \imath _{x}\colon T_{f(x)}N\to T_{x}M}
ı
x
∘
d
x
f
{\displaystyle \imath _{x}\circ d_{x}f}
d
x
f
{\displaystyle d_{x}f}
дифференциал отображения
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
Для вектора
X
∈
T
f
(
x
)
{\displaystyle X\in T_{f(x)}}
X
¯
=
ı
x
(
X
)
{\displaystyle {\overline {X}}=\imath _{x}(X)}
горизонтальным поднятием
X
{\displaystyle X}
Пусть
f
:
N
→
M
{\displaystyle f\colon N\to M}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
M
{\displaystyle M}
тензора кривизны
R
M
{\displaystyle R_{M}}
формулу О’Нэйла
⟨
R
M
(
X
,
Y
)
V
,
W
⟩
=
⟨
R
N
(
X
¯
,
Y
¯
)
V
¯
,
W
¯
⟩
+
1
2
⟨
[
X
¯
,
Y
¯
]
V
,
[
V
¯
,
W
¯
]
V
⟩
+
1
4
⟨
[
X
¯
,
V
¯
]
V
,
[
Y
¯
,
W
¯
]
V
⟩
−
1
4
⟨
[
X
¯
,
W
¯
]
V
,
[
Y
¯
,
V
¯
]
V
⟩
{\displaystyle \langle R_{M}(X,Y)V,W\rangle =\langle R_{N}({\overline {X}},{\overline {Y}}){\overline {V}},{\overline {W}}\rangle +{\tfrac {1}{2}}\langle [{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V},[{\overline {V}},{\overline {W}}]^{V}\rangle +{\tfrac {1}{4}}\langle [{\overline {X}},{\overline {V}}]^{V},[{\overline {Y}},{\overline {W}}]^{V}\rangle -{\tfrac {1}{4}}\langle [{\overline {X}},{\overline {W}}]^{V},[{\overline {Y}},{\overline {V}}]^{V}\rangle }
где
X
¯
,
Y
¯
,
V
¯
,
W
¯
{\displaystyle {\overline {X}},{\overline {Y}},{\overline {V}},{\overline {W}}}
X
,
Y
,
V
,
W
{\displaystyle X,Y,V,W}
[
X
¯
,
Y
¯
]
V
{\displaystyle [{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V}}
скобки Ли векторных полей
X
¯
,
Y
¯
{\displaystyle {\overline {X}},{\overline {Y}}}
N
{\displaystyle N}
В частности,
⟨
R
M
(
X
,
Y
)
Y
,
X
⟩
=
⟨
R
N
(
X
¯
,
Y
¯
)
Y
¯
,
X
¯
⟩
+
3
4
|
[
X
¯
,
Y
¯
]
V
|
2
{\displaystyle \langle R_{M}(X,Y)Y,X\rangle =\langle R_{N}({\overline {X}},{\overline {Y}}){\overline {Y}},{\overline {X}}\rangle +{\tfrac {3}{4}}\left|[{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V}\right|^{2}}
[
X
¯
,
Y
¯
]
V
{\displaystyle [{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V}}
X
¯
{\displaystyle {\overline {X}}}
Y
¯
{\displaystyle {\overline {Y}}}
Абсолютная величина
[
X
¯
,
Y
¯
]
V
{\displaystyle [{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V}}
p
∈
N
{\displaystyle p\in N}
p
{\displaystyle p}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
f
(
p
)
{\displaystyle f(p)}
Если тотальное пространство римановой субмерсии имеет секционную кривизну
⩾
κ
{\displaystyle \geqslant \kappa }
Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9 .Бессе А. М. : Мир, 1990. — ISBN 5-03-002066-7 . 
![{\displaystyle \langle R_{M}(X,Y)V,W\rangle =\langle R_{N}({\overline {X}},{\overline {Y}}){\overline {V}},{\overline {W}}\rangle +{\tfrac {1}{2}}\langle [{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V},[{\overline {V}},{\overline {W}}]^{V}\rangle +{\tfrac {1}{4}}\langle [{\overline {X}},{\overline {V}}]^{V},[{\overline {Y}},{\overline {W}}]^{V}\rangle -{\tfrac {1}{4}}\langle [{\overline {X}},{\overline {W}}]^{V},[{\overline {Y}},{\overline {V}}]^{V}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2326eca3c00b01f10bb5c64301ad6b5d93bd647a)
![{\displaystyle [{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c35cb4b9cb458411d614830dd9b99b0dfc147560)
![{\displaystyle \langle R_{M}(X,Y)Y,X\rangle =\langle R_{N}({\overline {X}},{\overline {Y}}){\overline {Y}},{\overline {X}}\rangle +{\tfrac {3}{4}}\left|[{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V}\right|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eafebae396988f131e514ad660b0ee76abf0015)
