Условное распределение

Усло́вное распределе́ние в теории вероятностей — это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение.

Определения

Будем предполагать, что задано вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$.

Дискретные случайные величины

Пусть $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$ и $Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ — случайные величины, такие, что случайный вектор $(X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}$ имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности $p_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}$. Пусть $y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ такой, что $\mathbb {P} (Y=y_{0})>0$. Тогда функция

$p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=\mathbb {P} (X=x\mid Y=y_{0})={p_{X,Y}(x,y_{0}) \over p_{Y}(y_{0})},\;x\in \mathbb {R} ^{m}$,

где $p_{Y}$ — функция вероятности случайной величины $Y$, называется усло́вной фу́нкцией вероя́тности случайной величины $X$ при условии, что $Y=y_{0}$. Распределение, задаваемое условной функцией вероятности, называется условным распределением.

Абсолютно непрерывные случайные величины

Пусть $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$ и $Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ — случайные величины, такие что случайный вектор $(X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}$ имеет абсолютно непрерывное распределение, задаваемое плотностью вероятности $f_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}$. Пусть $y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ таково, что $f_{Y}(y_{0})>0$, где $f_{Y}$ — плотность случайной величины $Y$. Тогда функция

$f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})={\frac {f_{X,Y}(x,y_{0})}{f_{Y}(y_{0})}}$

называется усло́вной пло́тностью вероя́тности случайной величины $X$ при условии, что $Y=y_{0}$. Распределение, задаваемое условной плотностью вероятности, называется условным распределением.

Свойства условных распределений

• Условные функции вероятности и условные плотности вероятности являются функциями вероятности и плотностями вероятности соответственно, то есть они удовлетворяют всем необходимым условиям. В частности,

• $p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\geq 0,\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m},\,y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$,
• $\sum \limits _{x}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$,

и

• $f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\geq 0$ почти всюду на $\mathbb {R} ^{m+n}$,
• $\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$,

• Справедливы формулы полной вероятности:

• $p_{X}(x)=\sum \limits _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)$,
• $f_{X}(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X\mid Y}(x\mid y)\,f_{Y}(y)\,dy$.

• Если случайные величины $X$ и $Y$ независимы, то условное распределение равно безусловному:

$p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=p_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m}$

или

$f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=f_{X}(x)$ почти всюду на $\mathbb {R} ^{m}$.

Условные вероятности

Дискретные случайные величины

Если $A$ — счётное подмножество $\mathbb {R} ^{m}$, то

$\mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\sum \limits _{x\in A}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})$.

Абсолютно непрерывные случайные величины

Если $A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{m})$ — борелевское подмножество $\mathbb {R} ^{m}$, то полагаем по определению

$\mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\int \limits _{A}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx$.

Замечание. Условная вероятность в левой части равенства не может быть определена классическим способом, так как $\mathbb {P} (Y=y_{0})=0$.

Условные математические ожидания

Дискретные случайные величины

• Условное математическое ожидание случайной величины $X$ при условии $Y=y_{0}$ получается суммированием относительно условного распределения:

$\mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\sum \limits _{x}x\,p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})$.

• Условное математическое ожидание $X$ при условии случайной величины $Y$ — это третья случайная величина $\mathbb {E} [X\mid Y]$, задаваемая равенством

$\mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega$.

Абсолютно непрерывные случайные величины

• Условное математическое ожидание случайной величины $X$ при условии $Y=y_{0}$ получается интегрированием относительно условного распределения:

$\mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}x\,f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx$.

• Условное математическое ожидание $X$ при условии случайной величины $Y$ — это третья случайная величина $\mathbb {E} [X\mid Y]$, задаваемая равенством

$\mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega$.

См. также

• Условное матожидание