Фундаментальная последовательность

Фундаментальная последовательность, или сходящаяся в себе последовательность, или последовательность Коши — последовательность точек метрического пространства такая, что для любого ненулевого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии меньшем, чем заданное.

Определение

Последовательность точек $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ метрического пространства $(X,\rho )$ называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:

Для всякого $\varepsilon >0$ найдётся такое натуральное $N$, что $\rho (x_{n},x_{m})<\varepsilon \$ для всех $n,m>N$.

Связанные определения

• Метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства, называется полным.

Свойства

• Каждая сходящаяся последовательность является фундаментальной, но не каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу из своего пространства.
• Метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда всякая система вложенных замкнутых шаров с неограниченно убывающим радиусом имеет непустое пересечение, состоящее из одной точки.
• Если последовательность фундаментальна и содержит сходящуюся подпоследовательность, то сама последовательность сходится.
• Если последовательность фундаментальна, то она ограничена.

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004. — 7-е изд.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 3, — М.: Наука, 1970.