Уравнение Эйлера — Лагранжа

Уравне́ния Э́йлера — Лагра́нжа (в физике также уравнения Лагранжа — Эйлера, или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации и совместно с принципом стационарности действия используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).

Использование уравнений Эйлера — Лагранжа для нахождения экстремума функционала в некотором смысле аналогично использованию теоремы дифференциального исчисления, утверждающей, что лишь в точке, где первая производная функции обращается в ноль, гладкая функция может иметь экстремум (в случае векторного аргумента приравнивается нулю градиент функции, то есть производная по векторному аргументу). Точнее говоря, это прямое обобщение соответствующей формулы на случай функционалов — функций бесконечномерного аргумента.

Уравнения были получены Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем в 1750-х годах.

Формулировка

Пусть задан функционал

$J(f)=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx$

на пространстве гладких функций $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$, где через $f'$ обозначена первая производная $f$ по $x$.

Предположим, что подынтегральная функция $F(x,f(x),f'(x))$, дважды непрерывно дифференцируема. Функция $F$ называется функцией Лагранжа, или лагранжианом.

Если функционал $J$ достигает экстремума на некоторой функции $f$, то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение

${\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0,$

которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.

Примеры

Рассмотрим стандартный пример: найти кратчайший путь между двумя точками плоскости. Ответом, очевидно, является отрезок, соединяющий эти точки. Попробуем получить его с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа в предположении, что кратчайший путь существует и является гладкой кривой.

Пусть точки, которые надо соединить, имеют координаты $(a,c)$ и $(b,d)$. Тогда длина пути $y(x)$, соединяющего эти точки, может быть записана следующим образом:

$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx.$

Уравнение Эйлера — Лагранжа для этого функционала принимает вид:

${\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}=0,$

откуда получаем, что

${\frac {dy}{dx}}=C\Rightarrow y=Cx+D.$

Таким образом, получаем прямую линию. Учитывая, что $y(a)=c$, $y(b)=d$, т. е. что она проходит через исходные точки, получаем верный ответ: отрезок прямой, соединяющий точки.

Многомерные вариации

Существует также множество многомерных вариантов уравнений Эйлера — Лагранжа.

• Если $q(t)$ — путь в $n$-мерном пространстве, то он доставляет экстремум функционалу

$J=\int \limits _{t1}^{t2}L(t,q(t),q'(t))\,dt$

только если удовлетворяет условию

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial q'_{k}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0$ $\forall k=1,2,\dots n$

В физических приложениях, когда $L$ является лагранжианом (имеется в виду лагранжиан некоторой физической системы; то есть если J — действие для этой системы), эти уравнения — (классические) уравнения движения такой системы. Это утверждение может быть прямо обобщено и на случай бесконечномерного q.

• Другое многомерное обобщение получается при рассмотрении функции $n$ переменных. Если $\Omega$ — какая-либо (в данном случае n-мерная) поверхность, то

$J=\int \limits _{\Omega }L(f,x_{1},\dots ,x_{n},f_{x_{1}},\dots ,f_{x_{n}})\,d\Omega ,$

где $x_{i}=x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n}$ — независимые координаты, $f=f(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n})$, $f_{x_{i}}\equiv {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$,

доставляет экстремум, если только $f$ удовлетворяет уравнению в частных производных

${\frac {\partial L}{\partial f}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial L}{\partial f_{x_{i}}}}=0.$

Если $n=2$ и $L$ — функционал энергии, то эта задача называется «минимизацией поверхности мыльной плёнки».

• Очевидная комбинация двух описанных выше случаев используется для получения уравнений движения распределенных систем, таких как физические поля, колеблющиеся струны или мембраны и т.п.

В частности, вместо статического уравнения равновесия мыльной плёнки, приведённого в качестве примера в предыдущем пункте, имеем в этом случае динамическое уравнение движения такой плёнки (если, конечно, нам удалось изначально записать для неё действие, то есть кинетическую и потенциальную энергию).

История

Уравнение Эйлера — Лагранжа было получено в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем при решении задачи об изохроне. Это проблема определения кривой, по которой тяжёлая частица попадает в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки.

Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отослал решение Эйлеру. Развитый впоследствии метод Лагранжа и применение его в механике привело к формулировке лагранжевой механики. Переписка учёных привела к созданию вариационного исчисления (термин предложил Эйлер в 1766 году).

Доказательство

Вывод одномерного уравнения Эйлера — Лагранжа является одним из классических доказательств в математике. Оно основывается на основной лемме вариационного исчисления.

Мы хотим найти такую функцию $f$, которая удовлетворяет граничным условиям $f(a)=c$, $f(b)=d$ и доставляет экстремум функционалу

$J=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx.$

Предположим, что $F$ имеет непрерывные первые производные. Достаточно и более слабых условий, но доказательство для общего случая более сложно.

Если $f$ даёт экстремум функционалу и удовлетворяет граничным условиям, то любое слабое возмущение $f$, которое сохраняет граничные условия, должно увеличивать значение $J$ (если $f$ минимизирует его) или уменьшать $J$ (если $f$ максимизирует).

Пусть $\eta (x)$ — любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию $\eta (a)=\eta (b)=0$. Определим

$J(\varepsilon )=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,dx.$

где $\varepsilon$ — произвольный параметр.

Поскольку $f$ даёт экстремум для $J(0)$, то $J'(0)=0$, то есть

$J'(0)=\int \limits _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f}}+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\,dx=0.$

Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что

$0=\int \limits _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx+\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]_{a}^{b}.$

Используя граничные условия на $\eta$, получим

$0=\int \limits _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx.$

Отсюда, так как $\eta (x)$ — любая, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:

${\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0.$

Если не вводить граничные условия на $f(x)$, то также требуются условия трансверсальности:

${\frac {\partial F}{\partial f'}}(a,f(a),f'(a))=0$

${\frac {\partial F}{\partial f'}}(b,f(b),f'(b))=0$

Обобщение на случай с высшими производными

Лагранжиан может также зависеть и от производных $f$ порядка выше, чем первый.

Пусть функционал, экстремум которого нужно найти, задан в виде:

$J=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x),f''(x),...,f^{(n)}(x))\,dx.$

Если наложить граничные условия на $f$ и на её производные до порядка $n-1$ включительно, а также предположить, что $F$ имеет непрерывные частные производные порядка $2n$ , то можно, применяя интегрирование по частям несколько раз, вывести аналог уравнения Эйлера — Лагранжа и для этого случая:

${\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {\partial F}{\partial f''}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}{\frac {\partial F}{\partial f^{(n)}}}=0.$

Это уравнение часто называют уравнением Эйлера — Пуассона.

Два лагранжиана, отличающеся на полную производную, дадут одни и те же дифференциальные уравнения, однако максимальный порядок производных в этих лагранжианах может быть различный. Например, $L_{1}=(f^{\prime }(x))^{2}~,~L_{2}=-f(x)f^{\prime \prime }(x)~,~L_{1}-L_{2}={\frac {d}{dx}}(f(x)f^{\prime }(x))$. Чтобы получить дифференциальное уравнение на экстремум, к $L_{1}$ достаточно применить «обычное» уравнение Эйлера — Лагранжа, а для $L_{2}$, поскольку он зависит от второй производной, нужно использовать уравнение Эйлера — Пуассона с соответствующим слагаемым:

${\frac {\partial L_{1}}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L_{1}}{\partial f'}}=-2f^{\prime \prime }(x),$

${\frac {\partial L_{2}}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L_{2}}{\partial f'}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {\partial L_{2}}{\partial f^{\prime \prime }}}=-2f^{\prime \prime }(x),$

и в обоих случаях получится одно и то же дифференциальное уравнение $-2f^{\prime \prime }(x)=0$.

Литература

• Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
• Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.
• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
• Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление, — УРСС, Москва, 2004.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Euler-Lagrange (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Calculus of Variations (англ.) на сайте PlanetMath.
• Summary with some historical information
• Examples — задачи из вариационного исчисления.