Вариационный принцип Пфаффа

Вариационный принцип Пфаффа — принцип, согласно которому вариация интеграла линейной функции от производных по времени должна быть равна нулю. Имеет важное значение в теории динамических систем.

Рассмотрим $2m$ функций $X_{j}(x_{1},...,x_{2m})$ от $2m$ переменных $x_{1},...,x_{2m}$ и функцию $Z(x_{1},...,x_{2m})$ от тех же переменных, ${\dot {x}}_{j}$ означает производную по времени переменной $x_{j}$. Вариационный принцип Пфаффа требует, чтобы вариация интеграла от линейной функции от производных ${\dot {x}}_{j}$ с коэффициентами $X_{j},Z$ была равна нулю:

$\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[\sum _{j=1}^{2m}X_{j}(x_{1},...,x_{2m}){\dot {x}}_{j}+Z(x_{1},...,x_{2m})\right]dt=0$

Для того, чтобы вариационный принцип Пфаффа выполнялся, необходимо и достаточно, чтобы функции $X_{j},Z$ удовлетворяли системе обыкновенных дифференциальных уравнений порядка $2m$ (уравнения Пфаффа):

$\sum _{j=1}^{2m}\left({\frac {\partial X_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial X_{j}}{\partial x_{i}}}\right)-{\frac {\partial Z}{\partial x_{i}}}=0,(i=1,...,2m)$

Уравнения Гамильтона могут быть получены, исходя из частного случая вариационного принципа Пфаффа:

$\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[\sum _{j=1}^{m}P_{j}{\dot {Q}}_{j}-H\right]dt=0$

См. также

• Принцип наименьшего действия

Литература

• Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисления. — М.: Книга по Требованию, 2012. — 424 с.
• Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. — М.: ОГИЗ Гостехтеориздат, 1941. — 320 с.
• Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. — Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999. — 408 с. — ISBN 5-7029-0356-0.