Унитарный оператор

Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор $U\colon H\to H$ на гильбертовом пространстве $H$, который удовлетворяет соотношению:

$U^{*}U=UU^{*}=I$,

где $U^{*}$ — эрмитово сопряжённый к $U$ оператор, и $I\colon H\to H$ — единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:

• $U$ сохраняет скалярное произведение $\langle ,\rangle$ гильбертового пространства, то есть для всех векторов $x$ и $y$ в гильбертовом пространстве $\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle$ и
• $U$ — сюръективный оператор.

Это также эквивалентно, казалось бы, более слабому условию:

• $U$ сохраняет скалярное произведение и
• образ $U$ — плотное множество.

($U$ изометричен, а поэтому является ограниченным линейным оператором — это следует из того, что $U$ сохраняет скалярное произведение; образ $U$ — плотное множество, таким образом $U^{-1}$ = $U^{*}$.)

Унитарный элемент — обобщение понятия унитарного оператора. В унитарной *-алгебре элемент $U$ алгебры называется унитарным элементом, если:

$U^{*}U=UU^{*}=I$,

где $I$ — единичный элемент.

Свойства унитарных преобразований:

• оператор унитарного преобразования всегда обратим
• если оператор ${\hat {H}}$ эрмитов, то оператор ${\hat {U}}=\exp(i{\hat {H}})$ унитарен.

Спектр унитарного оператора $U$ лежит на единичной окружности. Это можно увидеть из спектральной теоремы для нормального оператора. По этой теореме, $U$ унитарно эквивалентно умножению на измеримую по Борелю функцию $f$ на $L^{2}(\mu )$, для некоторого пространства с мерой $(X,\mu )$. Из $UU^{*}=I$ следует $|f(x)|^{2}=1$.

Тождественный оператор — тривиальный пример унитарного оператора. Вращения в $\mathbb {R} ^{2}$ — простейший нетривиальный пример унитарного оператора. Вращения не изменяют длины векторов и угол между двумя векторами. Этот пример также может быть обобщён на $\mathbb {R} ^{3}$. В векторном пространстве $\mathbb {C}$ комплексных чисел умножение на число с модулем $1$, то есть число вида $e^{i\theta }$ для $\theta \in \mathbb {R}$, является унитарным оператором. $\theta$ называется фазой. Можно заметить, что значение $\theta$, кратное $2\pi$, не влияет на результат, поэтому множество независимых унитарных операторов в $\mathbb {C}$ топологически эквивалентно окружности.

В физике

В квантовой механике состояние квантовой системы описывается вектором в гильбертовом пространстве. Норма вектора состояния изолированной квантовой системы описывает вероятность найти систему хоть в каком-либо состоянии, а значит, она обязана равняться единице. Соответственно, эволюция квантовой системы во времени — это некоторый оператор, зависящий от времени, и, из-за требования сохранения нормы, он является унитарным. Неунитарные операторы эволюции (или, что то же самое, неэрмитовые гамильтонианы) для изолированной квантовой системы в квантовой механике запрещены.

Литература

• Унитарный оператор // Ужи — Фидель. — М. : Советская энциклопедия, 1956. — С. 242. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 44).