Ударная адиабата

Уда́рная адиабата, или адиаба́та Гюгонио́, адиабата Ра́нкина — Гюгонио́ — математическое соотношение, связывающее термодинамические величины до ударной волны и после. Таким образом, ударная адиабата не описывает сам процесс в ударной волне.

Названо в честь шотландского физика Уильяма Джона Ранкина и французского Пьера-Анри Гюгонио, которые независимо получили это соотношение (опубликовано соответственно в 1870 и 1887—1889 годах).

Ударная адиабата представляет геометрическое место точек возможных конечных состояний вещества за фронтом ударной волны при заданных начальных условиях и описывает эти термодинамические состояния независимо от агрегатного состояния вещества, то есть справедлива для газов, жидкостей и твёрдых тел.

Вывод уравнения ударной адиабаты

Схема ударной волны в системе координат, связанных с фронтом ударной волны

Рассмотрим законы сохранения на стационарной ударной волне в такой системе отсчёта, в которой ударный фронт покоится:

$\rho _{1}u_{1}=\rho _{2}u_{2}=j,$

$p_{1}+\rho _{1}u_{1}^{2}=p_{2}+\rho _{2}u_{2}^{2},$

$h_{1}+{\frac {1}{2}}u_{1}^{2}=h_{2}+{\frac {1}{2}}u_{2}^{2}.$

Здесь $\rho$ — плотность газа, $u$ — скорость газа относительно ударной волны, $h$ — удельная энтальпия газа, $j$ — поток массы через разрыв, индексами «1» и «2» обозначены состояния среды до и после ударной волны.

Выразим скорость в последнем равенстве через поток массы $u=j/\rho$, получим уравнение:

$h_{2}-h_{1}+{\frac {j^{2}}{2}}\left({\frac {1}{\rho _{2}^{2}}}-{\frac {1}{\rho _{1}^{2}}}\right)=0.$

Исключая из него j с помощью равенства, известного под названием прямая или луч Рэлея — Михельсона (название связано с тем, что это уравнение задаёт прямую линию на плоскости $(p,V)$, где $V=1/\rho$ — удельный объём):

$j^{2}=-{\frac {p_{2}-p_{1}}{V_{2}-V_{1}}},$

приходим к соотношению Ранкина — Гюгонио:

$h_{2}-h_{1}-{\frac {\left(p_{2}-p_{1}\right)}{2}}\left(V_{1}+V_{2}\right)=0.$

Если выразить энтальпию через внутреннюю энергию $\varepsilon$ как $h=\varepsilon +pV$, то уравнение Ранкина — Гюгонио переходит в следующее выражение:

$\varepsilon _{2}-\varepsilon _{1}-{\frac {\left(p_{2}+p_{1}\right)}{2}}\left(V_{1}-V_{2}\right)=0.$

Особенности ударной адиабаты

Переход вещества через ударную волну является термодинамически необратимым процессом, поэтому при прохождении через вещество ударной волны удельная энтропия увеличивается. Так, для слабых ударных волн в совершенном газе рост энтропии пропорционален кубу относительного роста давления $(p_{2}-p_{1})/p_{1}.$

Увеличение энтропии означает наличие диссипации (внутри ударной волны, являющейся узкой переходной зоной, существенны, в частности, вязкость и теплопроводность). Это, в частности, приводит к тому, что тело, движущееся в идеальной жидкости с возникновением ударных волн, испытывает силу сопротивления, то есть для такого движения парадокс Д'Аламбера не имеет места.

Часто ударной адиабатой Гюгонио называют кривую в плоскости $(p,V)$ или $(p,\rho ),$ определяющую зависимость $p_{2}$ от $\rho _{2}$ при заданных начальных значениях $p_{1}$ и $\rho _{1}.$ При заданных $p_{1}$ и $\rho _{1}$ ударная волна, перпендикулярная потоку, определяется всего одним параметром (наклонная ударная волна характеризуется дополнительно значением касательной к её поверхности составляющей скорости): например, если задать $p_{2},$ то по адиабате Гюгонио можно найти $\rho _{2},$ а отсюда с использованием вышеприведённых формул — плотность потока $j$ и скорости $u_{1}$ и $u_{2},$ а из уравнения состояния — температуру и т. д.

Ударную адиабату не следует путать с адиабатой Пуассона, описывающей процесс с постоянной энтропией $s,$ то есть такие процессы термодинамически обратимы.

В отличие от адиабаты Пуассона, для которой $s(\rho ,p)=\mathrm {const} ,$ уравнение ударной адиабаты нельзя написать в виде $f(\rho ,p)=\mathrm {const} ,$ где $f$ — однозначная функция двух аргументов: адиабаты Гюгонио для заданного вещества составляют двухпараметрическое семейство кривых (каждая кривая определяется заданием как $p_{1},$ так и $\rho _{1},$) тогда как адиабаты Пуассона — однопараметрическое.

Примеры

Пусть удельная внутренняя энергия имеет выражение как для идеального газа:

$\varepsilon =\lambda \,p\,V$, $3/2\leqslant \lambda \leqslant 3.$

Величина $\lambda$ равна $3/2$ для одноатомного идеального газа, $5/2$ — для двухатомного, $3$ — для многоатомного. Для смесей возможны также и все промежуточные значения.

Тогда из общего случая легко получить уравнение ударной адиабаты в виде:

$\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}+{\frac {1}{2\lambda +1}}\right)\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}-{\frac {1}{2\lambda +1}}\right)=1-{\frac {1}{(2\lambda +1)^{2}}}~.$

Правая часть всегда положительна, поэтому и левая часть должна быть положительна, откуда $V_{2}>{\frac {V_{1}}{2\lambda +1}},$ то есть такой газ может сжиматься ударной волной только менее чем в $2\lambda +1$ раз. Второе начало термодинамики приводит к тому, что $p_{2}\geqslant p_{1},$ $V_{2}\leqslant V_{1}$ (для всех ударных адиабат), то есть объём вещества после ударной волны может только уменьшаться, а давление — только увеличиваться. (Если $V_{2}=V_{1},$ то из уравнения следует $p_{2}=p_{1},$ и наоборот. Это соответствует звуковой волне, а не ударной.)

Для сравнения, уравнение изотермы в аналогичной записи: ${\frac {p_{2}}{p_{1}}}{\frac {V_{2}}{V_{1}}}=1$ (закон Бойля — Мариотта).

Примеры для некоторых значений $\lambda .$

При $\lambda =3/2:\qquad \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}+{\frac {1}{4}}\right)\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}-{\frac {1}{4}}\right)={\frac {15}{16}}.$

При $\lambda =2:\qquad \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}+{\frac {1}{5}}\right)\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}-{\frac {1}{5}}\right)={\frac {24}{25}}.$

При $\lambda =5/2:\qquad \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}-{\frac {1}{6}}\right)={\frac {35}{36}}.$

При $\lambda =3:\qquad \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}+{\frac {1}{7}}\right)\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}-{\frac {1}{7}}\right)={\frac {48}{49}}.$

Правая часть выражения положительна, поэтому и левая должна быть положительна. Отсюда следует, что одноатомный идеальный газ сжимается ударной волной любой силы менее чем в 4 раза, двухатомный — менее чем в 6 раз, многоатомный — менее чем в 7. При этом в данной модели нет ограничений на повышение давления.

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — Издание 4-е, стереотипное. — М.: Наука, 1988. — 736 с. — («Теоретическая физика», том VI). — С. 456—459 (§ 85).
• Крайко А. Н. Краткий курс теоретической газовой динамики. — М.: МФТИ, 2007. — С. 300. — ISBN 978-5-7417-0229-1.
• Ловля С. А. и др. Закон сохранения энергии // Взрывное дело. — Изд. 2-е. — Москва: Недра, 1976. — С. 37.