Произведение Хатри — Рао

Произведение Хатри — Рао — операция умножения матриц, определяемая выражением^[1]^[2]:

\mathbf {A} \ast \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{ij}\right)_{ij}

в котором $ij$ -й блок является произведением Кронекера $m_{i}p_{i}\otimes n_{j}q_{j}$ соответствующих блоков $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$ при условии, что количество строк и столбцов обеих матриц равно. Размерность произведения — $\sum _{i}{m_{i}p_{i}}\times \sum _{j}{n_{j}q_{j}}$ .

К примеру, если матрицы $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$ имеют блочную размерность 2 × 2:

\mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c | c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right]

и

\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c c}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right]

,

то:

\mathbf {A} \ast \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c | c c}1&2&12&21\\4&5&24&42\\\hline 14&16&45&72\\21&24&54&81\end{array}}\right]

.

Столбцовое произведение Хатри — Рао

Столбцовое произведение Кронекера двух матриц также принято называть произведением Хатри — Рао. Это произведение предполагает, что блоки матриц являются их столбцами. В этом случае $m_{1}=m$ , $p_{1}=p$ , $n=q$ и для каждого $j$ : $n_{j}=p_{j}=1$ . Результатом произведения является $mp\times n$ -матрица, каждый столбец которой получается как произведение Кронекера соответствующих столбцов матриц $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$ . Например, для:

\mathbf {C} =\left[{\begin{array}{c | c | c}\mathbf {C} _{1}&\mathbf {C} _{2}&\mathbf {C} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}}\right]

и

\mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c | c | c }\mathbf {D} _{1}&\mathbf {D} _{2}&\mathbf {D} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c }1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right]

столбцовое произведение:

\mathbf {C} \ast \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c | c | c }\mathbf {C} _{1}\otimes \mathbf {D} _{1}&\mathbf {C} _{2}\otimes \mathbf {D} _{2}&\mathbf {C} _{3}\otimes \mathbf {D} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c }1&8&21\\2&10&24\\3&12&27\\4&20&42\\8&25&48\\12&30&54\\7&32&63\\14&40&72\\21&48&81\end{array}}\right]

.

Столбцовая версия произведения Хатри — Рао используется в линейной алгебре для аналитической обработки данных^[3] и оптимизации решений проблемы обращения диагональных матриц^[4]^[5]; в 1996 году его было предложено использовать в описании задачи совместного оценивания угла прихода и времени задержки сигналов в цифровой антенной решётке^[6], а также для описания отклика 4-координатного радара^[7].

Торцевое произведение

Торцевое произведение матриц

Существует альтернативная концепция произведения матриц, которая в отличие от столбцовой версии использует разбиение матриц на строки^[8] — торцевое произведение (англ. face-splitting product)^[7]^[9]^[10] или транспонированное произведение Хатри — Рао (англ. transposed Khatri — Rao product)^[11]. Этот тип матричного умножения базируется на построчном произведении Кронекера двух и более матриц с одинаковым количеством строк. Например, для:

\mathbf {C} =\left[{\begin{array}{c c}\mathbf {C} _{1}\\\hline \mathbf {C} _{2}\\\hline \mathbf {C} _{3}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c  c  c}1&2&3\\\hline 4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right]

и

\mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c }\mathbf {D} _{1}\\\hline \mathbf {D} _{2}\\\hline \mathbf {D} _{3}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c  c  c }1&4&7\\\hline 2&5&8\\\hline 3&6&9\end{array}}\right]

можно записать^[7]:

\mathbf {C} \bullet \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c }\mathbf {C} _{1}\otimes \mathbf {D} _{1}\\\hline \mathbf {C} _{2}\otimes \mathbf {D} _{2}\\\hline \mathbf {C} _{3}\otimes \mathbf {D} _{3}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c  c  c  c  c  c  c  c  c }1&4&7&2&8&14&3&12&21\\\hline 8&20&32&10&25&40&12&30&48\\\hline 21&42&63&24&48&72&27&54&81\end{array}}\right]

.

Основные свойства

Транспонирование (1996^[7]^[9]^[12]):

\left(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} \right)^{\textsf {T}}={\textbf {A}}^{\textsf {T}}\ast \mathbf {B} ^{\textsf {T}}

,

Коммутативность и ассоциативная операция^[7]^[9]^[12]:

{\begin{aligned}\mathbf {A} \bullet (\mathbf {B} +\mathbf {C} )&=\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} +\mathbf {A} \bullet \mathbf {C} ,\\(\mathbf {B} +\mathbf {C} )\bullet \mathbf {A} &=\mathbf {B} \bullet \mathbf {A} +\mathbf {C} \bullet \mathbf {A} ,\\(k\mathbf {A} )\bullet \mathbf {B} &=\mathbf {A} \bullet (k\mathbf {B} )=k(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} ),\\(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C} &=\mathbf {A} \bullet (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} ),\\\end{aligned}}

где $\mathbf {A}$ , $\mathbf {A}$ и $\mathbf {C}$ — матрицы, а $k$ — скаляр,

$a\bullet \mathbf {B} =\mathbf {B} \bullet a$ ,^[12] где $a$ - вектор с количеством элементов, равным количеству строк матрицы $\mathbf {B}$ ,

Свойство смешанного произведения (1997^[12]):

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )\left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=\left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)

,

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \ast \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {D} )

^[10],

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} \bullet \mathbf {C} \bullet \mathbf {D} )(\mathbf {L} \ast \mathbf {M} \ast \mathbf {N} \ast \mathbf {P} )=(\mathbf {A} \mathbf {L} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {M} )\circ (\mathbf {C} \mathbf {N} )\circ (\mathbf {D} \mathbf {P} )

^[11]^[13],

(\mathbf {A} \ast \mathbf {B} )^{\textsf {T}}(\mathbf {A} \ast \mathbf {B} )=(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} )\circ (\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {B} )

^[14],

где $\circ$ обозначает произведение Адамара.

Также выполняются следующие свойства:

$(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\bullet (\mathbf {C} \circ \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \bullet \mathbf {C} )\circ (\mathbf {B} \bullet \mathbf {D} )$ ^[12],
$\ a\otimes (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} )=(a\otimes \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C}$ ,^[7] где $a$ - вектор-строка,
$(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \ast \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\ast (\mathbf {B} \mathbf {D} )$ ^[14],
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {B} \mathbf {D} )$ ^[13],
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\dots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \dots \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} )$ ,
$c^{\textsf {T}}\bullet d^{\textsf {T}}=c^{\textsf {T}}\otimes d^{\textsf {T}}$ ^[12],
$c\ast d=c\otimes d$ , где $c$ и $d$ являются векторами согласованной размерности,
$(\mathbf {A} \ast c^{\textsf {T}})d=(\mathbf {A} \ast d^{\textsf {T}})c$ ^[15], $d^{\textsf {T}}(c\bullet \mathbf {A} ^{\textsf {T}})=c^{\textsf {T}}(d\bullet \mathbf {A} ^{\textsf {T}})$ ,
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(c\otimes d)=(\mathbf {A} c)\circ (\mathbf {B} d)$ ^[16], где $c$ и $d$ являются векторами согласованной размерности (следует из свойств 3 и 8),
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {M} \mathbf {N} c\otimes \mathbf {Q} \mathbf {P} d)=(\mathbf {A} \mathbf {M} \mathbf {N} c)\circ (\mathbf {B} \mathbf {Q} \mathbf {P} d)$ ,
${\mathcal {W}}(C^{(1)}x\star C^{(2)}y)=({\mathcal {W}}C^{(1)}\bullet {\mathcal {W}}C^{(2)})(x\otimes y)={\mathcal {W}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {W}}C^{(2)}y$ ,

где ${\mathcal {W}}$ является матрицей дискретного преобразования Фурье, $\star$ - символ векторной свёртки (тождество следует из свойств отсчётного скетча^[17]),

$\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} =(\mathbf {A} \otimes \mathbf {1_{c}} ^{\textsf {T}})\circ (\mathbf {1_{k}} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {B} )$ ^[18], где $\mathbf {A}$ - $r\times c$ матрица, $\mathbf {B}$ - $r\times k$ матрица, $\mathbf {1_{c}}$ , $\mathbf {1_{k}}$ - векторы из $c$ и $k$ единиц соответственно,
$\mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =(\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T}})\circ (\mathbf {1} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {M} )$ ^[19], где $\mathbf {M}$ является $r\times c$ матрицей, $\circ$ - произведение Адамара и $\mathbf {1}$ - вектор из $c$ единиц.
$\mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =\mathbf {M} [\circ ](\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T}})$ , где $[\circ ]$ - символ проникающего торцевого произведения матриц.
По аналогии, $\mathbf {P} \ast \mathbf {N} =(\mathbf {P} \otimes \mathbf {1_{c}} )\circ (\mathbf {1_{k}} \otimes \mathbf {N} )$ , где $\mathbf {P}$ - $c\times r$ матрица, $\mathbf {N}$ - $k\times r$ матрица,
$\mathbf {W_{d}} \mathbf {A} =\mathbf {w} \bullet \mathbf {A}$ ^[12],
$vec((\mathbf {w} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {B} )=(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {w}$ ^[10],
$vec(\mathbf {A} (\mathbf {w} \bullet \mathbf {B} ))=(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {w}$ ^[11],
$vec(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {W_{d}} \mathbf {A} )=(\mathbf {A} \bullet \mathbf {A} )^{\textsf {T}}\mathbf {w}$ ^[19],
$vec(\mathbf {A} \mathbf {W_{d}} \mathbf {A} ^{\textsf {T}})=(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\bullet \mathbf {A} ^{\textsf {T}})^{\textsf {T}}\mathbf {w} =(\mathbf {A} \ast \mathbf {A} )\mathbf {w}$ ,

где $\mathbf {w}$ - вектор, сформированный из диагональных элементов матрицы $\mathbf {W_{d}}$ , $vec(\mathbf {A} )$ - операция формирования вектора из матрицы $\mathbf {A}$ путём расположения одного под другим её столбцов.

Свойство поглощения произведения Кронекера:

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )...(\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {K} \ast \mathbf {T} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} \mathbf {K} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} \mathbf {T} )

^[10]^[13]

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )...(\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(c\otimes d)=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} c)\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} d)

,

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )...(\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {P} c\otimes \mathbf {Q} d)=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} \mathbf {P} c)\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} \mathbf {Q} d)

,

где $c$ и $d$ являются векторами согласованной размерности.

Например^[16]:

{\begin{aligned}\\&\quad \left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}\bullet {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\ast {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[5pt]&\quad =\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}\bullet {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\,\otimes \,{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[5pt]&\quad ={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\,\circ \,{\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

Теорема^[16]

Если

M=T^{(1)}\bullet \dots \bullet T^{(c)}

, где

T^{(1)},\dots ,T^{(c)}

представляют собой независимые включения матрицы

T

, содержащей строки

T_{1},\dots ,T_{m}\in \mathbb {R} ^{d}

, такие, что

E[(T_{1}x)^{2}]=\|x\|_{2}^{2}

и

E[(T_{1}x)^{p}]^{1/p}\leq {\sqrt {ap}}\|x\|_{2}

,

то

|\|Mx\|_{2}-\|x\|_{2}|<\varepsilon \|x\|_{2}

с вероятностью

1-\delta

для любого вектора

x

, если количество строк

m=(4a)^{2c}\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta +(2ae)\varepsilon ^{-1}(\log 1/\delta )^{c}

.

В частности, если элементами матрицы $T$ являются числа $\pm 1$ , можно получить $m=O(\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta +\varepsilon ^{-1}({\tfrac {1}{c}}\log 1/\delta )^{c})$ , что при малых значениях $\varepsilon$ согласуется с предельным значением $m=O(\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta )$ леммы Джонсона-Линденштрауса о распределении.

Блочное торцевое произведение

Примение блочного транспонированного торцевого произведения для описания отклика многогранной цифровой антенной решётки^[13]

Для блочных матриц с одинаковым количеством столбцов в соответствующих блоках:

\mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right]

и

\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]

согласно определению^[7], блочное торцевое произведение $\mathbf {A} [\bullet ]\mathbf {B}$ запишется в виде:

\mathbf {A} [\bullet ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\bullet \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\bullet \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\bullet \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\bullet \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]

.

Аналогично, для блочного транспонированного торцевого произведения (или блочного столбцового произведения Хатри — Рао) двух матриц $\mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B}$ с одинаковым количеством столбцов в соответствующих блоках имеет место соотношение^[7]:

\mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\ast \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\ast \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\ast \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\ast \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]

.

Выполняется свойство транспонирования^[13]:

\left(\mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B} \right)^{\textsf {T}}={\textbf {A}}^{\textsf {T}}[\bullet ]\mathbf {B} ^{\textsf {T}}

Приложения

Семейство торцевых произведений матриц используется в тензорно-матричной теории цифровых антенных решёток для радиотехнических систем^[11].

Торцевое произведение получило широкое распространение в системах машинного обучения, статистической обработке больших данных^[16]. Оно позволяет сократить объёмы вычислений при реализации метода уменьшения размерности данных, получившего наименование тензорный скетч^[16], а также быстрого преобразования Джонсона — Линденштрауса^[16]. При этом осуществляется переход от исходной проецирующей матрицы к произведению Адамара, оперирующему матрицами меньшей размерности. Погрешность аппроксимации данных большой размерности на основе торцевого произведения матриц соответствует лемме о малом искажении^[16]^[20]. В указанном контексте идея торцевого произведения➤ может быть использована для решения задачи дифференциальной приватности (англ. differential privacy)^[15]. Кроме того, аналогичные вычисления были применены для формирования тензоров совместной встречаемости в задачах обработки естественного языка и построения гиперграфов подобия изображений^[21].

Торцевое произведение применяется для P-сплайн аппроксимации^[18], построения обобщённых линейных моделей массивов данных (GLAM) при их статистической обработке^[19] и может быть использовано для эффективной реализации ядерного метода машинного обучения, а также изучения взаимодействия генотипов с окружающей средой.^[22]

См. также

Примечания

↑ Khatri C. G., C. R. Rao. Solutions to some functional equations and their applications to characterization of probability distributions (англ.) // Sankhya^[англ.] : journal. — 1968. — Vol. 30. — P. 167—180. Архивировано 23 октября 2010 года.
↑ Zhang X; Yang Z; Cao C. (2002), "Inequalities involving Khatri–Rao products of positive semi-definite matrices", Applied Mathematics E-notes, 2: 117—124
↑ See e.g. H.D. Macedo and J.N. Oliveira. A linear algebra approach to OLAP. Formal Aspects of Computing, 27(2):283-307, 2015.
↑ Lev-Ari, Hanoch. Efficient Solution of Linear Matrix Equations with Application to Multistatic Antenna Array Processing (EN) // Communications in Information & Systems. — 2005. — 1 января (т. 05, № 1). — С. 123—130. — ISSN 1526-7555. — doi:10.4310/CIS.2005.v5.n1.a5. Архивировано 12 июля 2020 года.
↑ Masiero, B.; Nascimento, V. H. Revisiting the Kronecker Array Transform // IEEE Signal Processing Letters. — 2017. — 1 мая (т. 24, № 5). — С. 525—529. — ISSN 1070-9908. — doi:10.1109/LSP.2017.2674969. — Bibcode: 2017ISPL...24..525M. Архивировано 12 июля 2020 года.
↑ Vanderveen, M. C., Ng, B. C., Papadias, C. B., & Paulraj, A. (n.d.). Joint angle and delay estimation (JADE) for signals in multipath environments. Conference Record of The Thirtieth Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers. — DOI:10.1109/acssc.1996.599145
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ Slyusar, V. I. (December 27, 1996). "End products in matrices in radar applications" (PDF). Izvestiya VUZ: Radioelektronika.– 1998, Vol. 41; Number 3: 50—53. Архивировано (PDF) 27 июля 2020. Дата обращения: 27 июля 2020.
↑ Anna Esteve, Eva Boj & Josep Fortiana (2009): Interaction Terms in Distance-Based Regression, Communications in Statistics — Theory and Methods, 38:19, P. 3501 [1] Архивная копия от 26 апреля 2021 на Wayback Machine
↑ ¹ ² ³ Slyusar, V. I. Analytical model of the digital antenna array on a basis of face-splitting matrix products (англ.) // Proc. ICATT- 97, Kyiv : journal. — 1997. — 20 May. — P. 108—109. Архивировано 25 января 2020 года.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Slyusar, V. I. (1999). "A Family of Face Products of Matrices and its Properties" (PDF). Cybernetics and Systems Analysis C/C of Kibernetika I Sistemnyi Analiz. 35 (3): 379—384. doi:10.1007/BF02733426. Архивировано (PDF) 25 января 2020. Дата обращения: 12 июля 2020.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Миночкин А. И., Рудаков В. И., Слюсар В. И. Основы военно-технических исследований. Теория и приложения. Том. 2. Синтез средств информационного обеспечения вооружения и военной техники // Под ред. А. П. Ковтуненко. — Киев: «Гранмна». — 2012. (неопр.) C. 7 - 98; 354 - 521 (2012). Дата обращения: 12 июля 2020. Архивировано 25 января 2020 года.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Slyusar, V. I. (1997-09-15). "New operations of matrices product for applications of radars" (PDF). Proc. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-97), Lviv.: 73—74. Архивировано (PDF) 25 января 2020. Дата обращения: 12 июля 2020.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Vadym Slyusar. New Matrix Operations for DSP (Lecture). April 1999. - DOI: 10.13140/RG.2.2.31620.76164/1
↑ ¹ ² C. Radhakrishna Rao. Estimation of Heteroscedastic Variances in Linear Models.//Journal of the American Statistical Association, Vol. 65, No. 329 (Mar., 1970), pp. 161-172
↑ ¹ ² Kasiviswanathan, Shiva Prasad, et al. «The price of privately releasing contingency tables and the spectra of random matrices with correlated rows.» Proceedings of the forty-second ACM symposium on Theory of computing. 2010.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Ahle, Thomas; Knudsen, Jakob Almost Optimal Tensor Sketch (неопр.). [2] (3 сентября 2019). Дата обращения: 11 июля 2020. Архивировано 14 июля 2020 года.
↑ Ninh, Pham; Rasmus, Pagh (2013). Fast and scalable polynomial kernels via explicit feature maps. SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining. Association for Computing Machinery. doi:10.1145/2487575.2487591.
↑ ¹ ² Eilers, Paul H.C.; Marx, Brian D. (2003). "Multivariate calibration with temperature interaction using two-dimensional penalized signal regression". Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. 66 (2): 159—174. doi:10.1016/S0169-7439(03)00029-7.
↑ ¹ ² ³ Currie, I. D.; Durban, M.; Eilers, P. H. C. (2006). "Generalized linear array models with applications to multidimensional smoothing". Journal of the Royal Statistical Society. 68 (2): 259—280. doi:10.1111/j.1467-9868.2006.00543.x.
↑ Ahle, Thomas; Kapralov, Michael; Knudsen, Jakob; Pagh, Rasmus; Velingker, Ameya; Woodruff, David; Zandieh, Amir (2020). Oblivious Sketching of High-Degree Polynomial Kernels. ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. Association for Computing Machinery. doi:10.1137/1.9781611975994.9.
↑ Bryan Bischof. Higher order co-occurrence tensors for hypergraphs via face-splitting. Published 15 February, 2020, Mathematics, Computer Science, ArXiv Архивная копия от 25 ноября 2020 на Wayback Machine
↑ Johannes W. R. Martini, Jose Crossa, Fernando H. Toledo, Jaime Cuevas. On Hadamard and Kronecker products in covariance structures for genotype x environment interaction.//Plant Genome. 2020;13:e20033. Page 5. [3]

Литература

Khatri C. G., C. R. Rao. Solutions to some functional equations and their applications to characterization of probability distributions (англ.) // Sankhya^[англ.] : journal. — 1968. — Vol. 30. — P. 167—180. Архивировано 23 октября 2010 года.
Zhang X; Yang Z; Cao C. (2002), "Inequalities involving Khatri–Rao products of positive semi-definite matrices", Applied Mathematics E-notes, 2: 117—124
Matrix Algebra & Its Applications to Statistics & Econometrics./C. R. Rao with M. Bhaskara Rao. — World Scientific. — 1998. — P. 216.

[1] Khatri C. G., C. R. Rao. Solutions to some functional equations and their applications to characterization of probability distributions (англ.) // Sankhya^[англ.] : journal. — 1968. — Vol. 30. — P. 167—180. Архивировано 23 октября 2010 года.

[2] Zhang X; Yang Z; Cao C. (2002), "Inequalities involving Khatri–Rao products of positive semi-definite matrices", Applied Mathematics E-notes, 2: 117—124

[3] See e.g. H.D. Macedo and J.N. Oliveira. A linear algebra approach to OLAP. Formal Aspects of Computing, 27(2):283-307, 2015.

[4] Lev-Ari, Hanoch. Efficient Solution of Linear Matrix Equations with Application to Multistatic Antenna Array Processing (EN) // Communications in Information & Systems. — 2005. — 1 января (т. 05, № 1). — С. 123—130. — ISSN 1526-7555. — doi:10.4310/CIS.2005.v5.n1.a5. Архивировано 12 июля 2020 года.

[5] Masiero, B.; Nascimento, V. H. Revisiting the Kronecker Array Transform // IEEE Signal Processing Letters. — 2017. — 1 мая (т. 24, № 5). — С. 525—529. — ISSN 1070-9908. — doi:10.1109/LSP.2017.2674969. — Bibcode: 2017ISPL...24..525M. Архивировано 12 июля 2020 года.

[6] Vanderveen, M. C., Ng, B. C., Papadias, C. B., & Paulraj, A. (n.d.). Joint angle and delay estimation (JADE) for signals in multipath environments. Conference Record of The Thirtieth Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers. — DOI:10.1109/acssc.1996.599145

[slyusar-7] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ Slyusar, V. I. (December 27, 1996). "End products in matrices in radar applications" (PDF). Izvestiya VUZ: Radioelektronika.– 1998, Vol. 41; Number 3: 50—53. Архивировано (PDF) 27 июля 2020. Дата обращения: 27 июля 2020.

[Fortiana-8] Anna Esteve, Eva Boj & Josep Fortiana (2009): Interaction Terms in Distance-Based Regression, Communications in Statistics — Theory and Methods, 38:19, P. 3501 [1] Архивная копия от 26 апреля 2021 на Wayback Machine

[slyusar1-9] ¹ ² ³ Slyusar, V. I. Analytical model of the digital antenna array on a basis of face-splitting matrix products (англ.) // Proc. ICATT- 97, Kyiv : journal. — 1997. — 20 May. — P. 108—109. Архивировано 25 января 2020 года.

[slyusar2-10] ¹ ² ³ ⁴ Slyusar, V. I. (1999). "A Family of Face Products of Matrices and its Properties" (PDF). Cybernetics and Systems Analysis C/C of Kibernetika I Sistemnyi Analiz. 35 (3): 379—384. doi:10.1007/BF02733426. Архивировано (PDF) 25 января 2020. Дата обращения: 12 июля 2020.

[slyusarsmartantenna1-11] ¹ ² ³ ⁴ Миночкин А. И., Рудаков В. И., Слюсар В. И. Основы военно-технических исследований. Теория и приложения. Том. 2. Синтез средств информационного обеспечения вооружения и военной техники // Под ред. А. П. Ковтуненко. — Киев: «Гранмна». — 2012. (неопр.) C. 7 - 98; 354 - 521 (2012). Дата обращения: 12 июля 2020. Архивировано 25 января 2020 года.

[DIPED-12] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Slyusar, V. I. (1997-09-15). "New operations of matrices product for applications of radars" (PDF). Proc. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-97), Lviv.: 73—74. Архивировано (PDF) 25 января 2020. Дата обращения: 12 июля 2020.

[lecture-13] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Vadym Slyusar. New Matrix Operations for DSP (Lecture). April 1999. - DOI: 10.13140/RG.2.2.31620.76164/1

[Rao-14] ¹ ² C. Radhakrishna Rao. Estimation of Heteroscedastic Variances in Linear Models.//Journal of the American Statistical Association, Vol. 65, No. 329 (Mar., 1970), pp. 161-172

[k2010-15] ¹ ² Kasiviswanathan, Shiva Prasad, et al. «The price of privately releasing contingency tables and the spectra of random matrices with correlated rows.» Proceedings of the forty-second ACM symposium on Theory of computing. 2010.

[tensorsketch-16] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Ahle, Thomas; Knudsen, Jakob Almost Optimal Tensor Sketch (неопр.). [2] (3 сентября 2019). Дата обращения: 11 июля 2020. Архивировано 14 июля 2020 года.

[ninh-17] Ninh, Pham; Rasmus, Pagh (2013). Fast and scalable polynomial kernels via explicit feature maps. SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining. Association for Computing Machinery. doi:10.1145/2487575.2487591.

[spline-18] ¹ ² Eilers, Paul H.C.; Marx, Brian D. (2003). "Multivariate calibration with temperature interaction using two-dimensional penalized signal regression". Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. 66 (2): 159—174. doi:10.1016/S0169-7439(03)00029-7.

[GLAM-19] ¹ ² ³ Currie, I. D.; Durban, M.; Eilers, P. H. C. (2006). "Generalized linear array models with applications to multidimensional smoothing". Journal of the Royal Statistical Society. 68 (2): 259—280. doi:10.1111/j.1467-9868.2006.00543.x.

[highdeg-20] Ahle, Thomas; Kapralov, Michael; Knudsen, Jakob; Pagh, Rasmus; Velingker, Ameya; Woodruff, David; Zandieh, Amir (2020). Oblivious Sketching of High-Degree Polynomial Kernels. ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. Association for Computing Machinery. doi:10.1137/1.9781611975994.9.

[21] Bryan Bischof. Higher order co-occurrence tensors for hypergraphs via face-splitting. Published 15 February, 2020, Mathematics, Computer Science, ArXiv Архивная копия от 25 ноября 2020 на Wayback Machine

[22] Johannes W. R. Martini, Jose Crossa, Fernando H. Toledo, Jaime Cuevas. On Hadamard and Kronecker products in covariance structures for genotype x environment interaction.//Plant Genome. 2020;13:e20033. Page 5. [3]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]