Стационарная теория возмущений в квантовой механике

Стационарная теория возмущений в квантовой механике — теория возмущений, где гамильтониан не зависит от времени. Теория построена Шрёдингером в 1926 году.

Теория применима для достаточно слабых возмущений: $H=H_{0}+\lambda H_{1}$ , при этом параметр $\lambda$ должен быть настолько маленьким, чтобы возмущение не слишком искажало невозмущённый спектр $H^{0}$ .

Невырожденный спектр

В теории возмущений решение представляется в виде разложений

|n\rangle =|n^{0}\rangle +\lambda |n^{1}\rangle +\lambda ^{2}|n^{2}\rangle +\cdots ,

E_{n}=E_{n}^{0}+\lambda E_{n}^{1}+\lambda ^{2}E_{n}^{2}+\cdots .

Конечно, должно быть верно уравнение Шрёдингера:

H|n\rangle =E_{n}|n\rangle .

Подставляя разложение в это уравнение, получим

(H_{0}+\lambda H_{1})(|n^{0}\rangle +\lambda |n^{1}\rangle +\lambda ^{2}|n^{2}\rangle +\cdots )=

(E_{n}^{0}+\lambda E_{n}^{1}+\lambda ^{2}E_{n}^{2}+\cdots )(|n^{0}\rangle +\lambda |n^{1}\rangle +\lambda ^{2}|n^{2}\rangle +\cdots ).

Раскроем скобки и получим слева и справа следующие ряды:

$\lambda ^{0}H_{0}|n^{0}\rangle +\lambda ^{1}H_{1}|n^{0}\rangle +\lambda ^{1}H_{0}|n^{1}\rangle +\lambda ^{2}H_{1}|n^{1}\rangle +\cdots +\lambda ^{i+j}H_{i}|n^{j}\rangle =$

$\lambda ^{0}E_{n}^{0}|n^{0}\rangle +\lambda ^{1}E_{n}^{1}|n^{0}\rangle +\cdots +\lambda ^{i+j}E_{n}^{i}|n^{j}\rangle ,$

то есть

$\sum _{\begin{matrix}i=0\\j\end{matrix}}^{i=1}\lambda ^{i+j}H_{i}|n^{j}\rangle =\sum _{i,j}\lambda ^{i+j}E_{n}^{i}|n^{j}\rangle .$

Собирая слагаемые одинакового порядка по $\lambda$ , получим последовательности уравнений:

H_{0}|n^{0}\rangle =E_{n}^{0}|n^{0}\rangle ,

H_{0}|n^{1}\rangle +H_{1}|n^{0}\rangle =E_{n}^{0}|n^{1}\rangle +E_{n}^{1}|n^{0}\rangle ,

H_{0}|n^{2}\rangle +H_{1}|n^{1}\rangle =E_{n}^{0}|n^{2}\rangle +E_{n}^{1}|n^{1}\rangle +E_{n}^{2}|n^{0}\rangle .

и т. д. Эти уравнения должны решаться последовательно для получения $E_{n}^{k}$ и $n^{k}$ . Слагаемое с индексом $k=0$ — это решение для невозмущённого уравнения Шрёдингера, поэтому говорят также о «приближении нулевого порядка». Аналогично говорят о «приближении $k$ -го порядка», если рассчитывают решение до слагаемых $E_{n}^{k}$ и $n^{k}$ .

Из второго уравнения получаем, что можно определять однозначно решения для $n^{1}$ только с дополнительными условиями, так как каждая линейная комбинация $n^{1}$ и $n^{0}$ является решением. Возникает вопрос о нормализации. Мы можем предположить, что $\langle n^{0}|n^{0}\rangle =1$ , но в то же время из нормировки точного решения следует $\langle n|n\rangle =1$ . Тогда в первом порядке (по параметру λ) для условия нормировки нужно положить $\langle n^{0}|n^{1}\rangle +\langle n^{1}|n^{0}\rangle =0$ . Поскольку выбор фазы в квантовой механике произволен, можно без потери общности сказать, что число $\langle n^{0}|n\rangle$ действительно. Поэтому $\langle n^{0}|n^{1}\rangle =-\langle n^{0}|n^{1}\rangle$ , и, как следствие, налагаемое дополнительное условие примет вид:

\langle n^{0}|n^{1}\rangle =0.

Так как невозмущённое состояние $n^{0}$ должно быть нормируемо, сразу следует

\lambda \langle n^{0}|n^{1}\rangle +\lambda ^{2}\langle n^{0}|n^{2}\rangle +\lambda ^{3}\langle n^{0}|n^{3}\rangle +\cdots =0

и из этого

$\langle n^{0}|n^{k}\rangle =\delta _{0k}.$

Получаем поправку в первом порядке

E_{n}^{1}=\langle n^{0}|H_{1}|n^{0}\rangle ,

|n^{1}\rangle =\sum _{m\neq n}{\frac {\langle m^{0}|H_{1}|n^{0}\rangle }{E_{n}^{0}-E_{m}^{0}}}|m^{0}\rangle ,

и для поправки энергии во втором порядке

E_{n}^{2}=\sum _{m\neq n}{\frac {|\langle m^{0}|H_{1}|n^{0}\rangle |^{2}}{E_{n}^{0}-E_{m}^{0}}}.

Литература

Landau L. D., Lifschitz E. M. Quantum Mechanics: Non-relativistic Theory. — 3rd. — ISBN 0-08-019012-X.