Теорема о биссектрисе

Теорема о биссектрисе — классическая теорема геометрии треугольника.

${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}.$

Формулировка

Биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть, если биссектриса при вершине $A$ треугольника $\triangle ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$ то

${\frac {DB}{DC}}={\frac {AB}{AC}}.$

Замечания

• То же равенство выполняется и для точки $D$ лежащей на пересечении внешней биссектрисы и продолжении стороны $BC$.

История

Теорема о биссектрисе формулируется в шестой книге «Начал Евклида» (предложение III), в частности, на греческом языке в византийском манускрипте. Ранняя цитата по Евклиду этой теоремы в русскоязычных источниках содержится в одном из первых русских учебников геометрии — рукописи начала XVII века «Синодальная №42» (книга 1, часть 2, глава 21).

Доказательства

Существует несколько методов доказательства. Например, методом площадей или проведением из другой вершины прямой, параллельной биссектрисе, до ее пересечения с продолжением одной из сторон.

Метод площадей

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины A на сторону BC опущена биссектриса AD. Найдем площади треугольников ABD и ACD:

Метод площадей

${\frac {S_{ABD}}{S_{ACD}}}={\frac {{\frac {1}{2}}AB\cdot AD\cdot \sin \alpha }{{\frac {1}{2}}AC\cdot AD\cdot \sin \alpha }}={\frac {AB}{AC}}.$

С другой стороны,

${\frac {S_{ABD}}{S_{ACD}}}={\frac {{\frac {1}{2}}BD\cdot AH}{{\frac {1}{2}}CD\cdot AH}}={\frac {BD}{CD}}.$

Значит,

${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}.$

Через теорему синусов

Рассмотрим треугольник ABC с биссектрисой AD. Запишем теорему синусов для треугольников ABD и ACD:

Доказательство теоремы о биссектрисе с помощью теоремы синусов

${\frac {AB}{\sin \gamma }}={\frac {BD}{\sin \alpha }},\quad (1)$

${\frac {AC}{\sin(180^{\circ }-\gamma )}}={\frac {CD}{\sin \alpha }}.$

Но $\sin(180^{\circ }-\gamma )=\sin \gamma ,$ следовательно,

${\frac {AC}{\sin \gamma }}={\frac {CD}{\sin \alpha }}.\quad (2)$

Поделив равенство (1) на равенство (2), получим:

${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}.$

Через подобие треугольников

Данный способ доказательства основан на продлении биссектрисы до пересечения с ней перпендикуляра, опущенного на нее из одной из вершин.

Доказательство теоремы о биссектрисе через подобие треугольников

Рассмотрим треугольник ABC с биссектрисой AD. Опустим перпендикуляры BK и CT на нее и ее продолжение соответственно. Треугольники KBD и TCD подобны по двум углам, значит,

${\frac {BD}{CD}}={\frac {BK}{CT}}.$

Треугольники ABK и ACT тоже подобны по двум углам, значит, справедливо равенство:

${\frac {AB}{AC}}={\frac {BK}{CT}}.$

Отсюда получаем, что ${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}.$

Вариации и обобщения

• Если D — произвольная точка на стороне BC треугольника ABC, тогда

  ${\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|{\frac {\sin \angle DAB}{\sin \angle ADB}}}{|AC|{\frac {\sin \angle DAC}{\sin \angle ADC}}}}={\frac {|AB|{\frac {\sin \angle DAB}{\sin \angle ADB}}}{|AC|{\frac {\sin \angle DAC}{\sin(180^{\circ }-\angle ADB))}}}}={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \angle DAC}}.$

  • В случае, когда AD — биссектриса, $\sin \angle DAB=\sin \angle DAC$.

• Биссекторная плоскость двугранного угла в тетраэдре (то есть плоскость, делящая двугранный угол пополам) делит противоположное его ребро на части, пропорциональные площадям граней тетраэдра, являющихся гранями этого двугранного угла.

• Теорема Штейнера.

См. также

• Антибиссектриса
• Биссектриса
• Высота (геометрия)
• Высота треугольника
• Инцентр
• Медиана треугольника
• Симедиана
• Ось внешних биссектрис или антиортовая ось
• Треугольник
• Треугольник трёх внешних биссектрис
• Ось внешних биссектрис или антиортовая ось
• Центроид
• Чевиана

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 18-19.