Теорема о точках плотности

Теорема о точках плотности — результат теории меры, которой интуитивно можно понимать так, что множество «граничных точек» измеримого множества имеет меру ноль.

Формулировка

Обозначим через $\lambda$ меру Лебега на евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ . Пусть $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ — измеримое множество. Для произвольной точки $x\in \mathbb {R} ^{n}$ и $\varepsilon >0$ рассмотрим значение

d_{\varepsilon }(x)={\frac {\lambda (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\lambda (B_{\varepsilon }(x))}}

,

где $B_{\varepsilon }(x)$ обозначает шар с центром в $x$ и радиусом $\varepsilon$ . Величина $d_{\varepsilon }(x)$ может интерпретироваться как приблизительная плотность множества $A$ в точке $x$ .

Тогда, для почти каждой точки $x\in A$ ,

d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)

существует и равен 0 или 1.

Замечания

Величина $d(x)$ , если определена, называется плотностью множества $A$ в точке $x$ .
Другими словами, теорема утверждает, что плотность любого измеримого множества $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ принимает значение 0 или 1 почти всюду в $\mathbb {R} ^{n}$ .
Если множество и его дополнение имеют положительную меру, то всегда найдутся точки с плотностью не 0 и не 1.

Примеры

Например, дан квадрат в плоскости, плотность в каждой точке внутри квадрата равна 1, на сторонах 1/2, в вершинах по 1/4, и 0 вне квадрата; границы и вершины имеют меру ноль.

Вариации и обобщения

Теорема о точках плотности является частным случаем теоремы о дифференциации Лебега^[англ.].

Литература

Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. — М., 1974.