Теоремы Паппа — Гульдина

Теоре́мы Па́ппа — Гу́льдина — две теоремы о телах вращения, которые связывают их площадь и объём с длиной окружности, описываемой барицентром. Сформулированы Паппом Александрийским (доказательства он не привёл). Первое известное доказательство принадлежит Паулю Гульдину (1640).

Первая теорема Паппа — Гульдина (о площади поверхности вращения)

Площадь поверхности тела, образованного вращением плоской линии (замкнутой или незамкнутой) вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии и не пересекающей её, равна произведению длины вращающейся линии на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси до барицентра линии.

Вторая теорема Паппа — Гульдина (об объёме тела вращения)

Объём тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, расположенной в той же плоскости и не пересекающей фигуру, равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси вращения до барицентра фигуры.

Доказательство

Лемма

Пусть в плоскости по одну сторону от прямой расположено несколько материальных точек одинаковой массы. Тогда центр тяжести этой системы точек удалён от прямой $l$ на расстояние, равное среднему арифметическому расстояний этих точек от прямой $l$.

Доказательство: Докажем лемму методом математической индукции. Обозначим число точек через $n$, сами точки через $M_{1}$, $M_{2}$, …, $M_{n}$, массу каждой точки через $m$, а расстояния точек от прямой $l$ через $r_{1}$, $r_{2}$, …, $r_{n}$.

Для $n=1$, утверждение леммы очевидно. Пусть лемма верна для $n-1$ точки. Тогда их центр тяжести $P$ находится на расстоянии

$r={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{n-1}}{n-1}}$.

Заменим систему материальных точек $M_{1}$, $M_{2}$, …, $M_{n-1}$ точкой $P$, сосредоточив в ней массу, равную $(n-1)m$. Остаётся найти центр тяжести $O$ двух материальных точек $P$ и $M_{n}$. Так как точка $P$ имеет массу $(n-1)m$, а точка $M_{n}$ — массу $m$, то

$PO:OM_{n}=1:(n-1)$.

Следовательно, если $r^{*}$ — расстояние от точки $O$ до прямой (рис. 1), то

$(r-r^{*}):(r^{*}-r_{n})=1:(n-1)$,

откуда

$r^{*}={\frac {(n-1)r+r_{n}}{n}}={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{n-1}+r_{n}}{n}}$

Таким образом, утверждение леммы справедливо для $n$ материальных точек.

Доказательство первой теоремы Паппа — Гульдина

Прежде всего докажем, что эта теорема справедлива, если кривая, о которой идет речь в теореме, является $n$-звенной ломаной, у которой все звенья имеют одну и ту же длину $m$. Середины звеньев ломаной обозначим через $M_{1}$, $M_{2}$, …, $M_{n}$, а расстояния от этих точек до прямой $l$ — через $r_{1}$, $r_{2}$, …, $r_{n}$. При вращении рассматриваемой ломаной вокруг прямой $l$ получается поверхность , состоящая из $n$ частей, каждая из которых представляет собой боковую поверхность усеченного конуса. Так как боковая поверхность усечённого конуса равна произведению длины образующей на длину окружности среднего сечения, то площадь получившейся фигуры вращения равна

$S=m\cdot 2\pi r_{1}+m\cdot 2\pi r_{2}+\ldots +m\cdot 2\pi r_{n}$.

Замечая, что длина рассматриваемой ломаной равна $P=mn$, можно переписать выражение для площади

$S=P\cdot 2\pi R$,

где

$R={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{n}}{n}}$,

но центр тяжести ломаной, то есть центр тяжести точек $M_{1}$, $M_{2}$, …, $M_{n}$, в каждой из которых сосредоточена масса $m$, согласно лемме, отстоит от прямой $l$ на расстоянии $R$. Это означает, что в рассматриваемом частном случае первая теорема Паппа — Гульдина справедлива.

Теперь рассмотрим произвольную линию $K$, при вращении которой при вращении вокруг оси $l$ получается поверхность $Q$. Впишем в неё ломаную $L$, содержащую $m$ звеньев. При вращении $L$ вокруг оси $l$ получим поверхность $T$, площадь которой равна $S=P\cdot 2\pi R$, где $P$ — длина ломаной $L$, а $R$ — расстояние от центра тяжести ломаной $L$ до оси вращения $l$.

Если считать $m\to 0$, то длина ломаной $L$ будет стремиться к длине линии $K$, площадь поверхности $T$ будет стремиться к площади поверхности $Q$, центр тяжести ломаной $L$ будет стремиться к центру тяжести кривой $K$. Так как для любого $m$ соотношение $S=P\cdot 2\pi R$ справедливо для $L$, то переходя к пределу $m\to 0$, найдем, что оно справедливо и для кривой $K$.

Литература

• Глейзер Г. И.  История математики в школе. IX – X классы. — М.: Просвещение, 1983. — 351 с.
• Фихтенгольц Г. М.  Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. 7-е изд. — М.: Наука, 1969. — 800 с.