Теорема Гурвица (теория чисел)

Теорема Гурвица — результат теории чисел, оценивающий возможность приближения иррациональных чисел рациональными.

Формулировка

Для любой константы $c\leqslant {\sqrt {5}}$ и иррационального числа $\xi$ существует бесконечно много целых чисел $k$ таких, что $\xi$ приближаемо рациональными числами с точностью $|\xi -{\frac {h}{k}}|<{\frac {1}{ck^{2}}}$.

Для любой константы $c>{\sqrt {5}}$ существует иррациональное число $\xi$ такое, что только конечное количество значений $k$ позволяют подобрать $h$, удовлетворяющее $|\xi -{\frac {h}{k}}|<{\frac {1}{ck^{2}}}$.

Доказательство

Теорема была доказана Адольфом Гурвицем в 1891 году. Контрпримером для $c>{\sqrt {5}}$ может являться число ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$.

Литература

• К. Чандрасекхаран. Введение в аналитическую теорию чисел. — Мир, 1968.