Полупростой модуль

Полупростые модули (вполне приводимые модули) — общеалгебраические модули, которые можно легко восстановить по их частям. Кольцо, являющееся полупростым модулем над самим собой, называется артиновым полупростым кольцом. Важный пример полупростого кольца — групповое кольцо конечной группы над полем характеристики ноль. Структура полупростых колец описывается теоремой Веддербёрна — Артина: все такие кольца являются прямыми произведениями колец матриц.

Определение

Приводятся три эквивалентных определения полупростого (вполне приводимого) модуля: модуль M полупростой, если

1. M изоморфен прямой сумме простых модулей (также называемых неприводимыми).
2. M можно разложить в прямую сумму простых подмодулей M.
3. Для каждого N — подмодуля M существует дополнение P, такое что M = N ⊕ P.

Полная приводимость — более сильное условие, чем вполне разложимость: вполне разложимый модуль — это модуль, который раскладывается в прямую сумму неразложимых. Например, кольцо целых чисел является вполне разложимым (это следует из его неразложимости), однако не является вполне приводимым, так как у него имеются подмодули (к примеру, множество чётных чисел).

Свойства

• Если M полупрост и N — его подмодуль, то N и M/N также полупросты.
• Если все $M_{i}$ — полупростые модули, то и прямая сумма $\bigoplus _{i}M_{i}$ полупроста.
• Модуль M является конечнопорождённым и полупростым тогда и только тогда, когда он является артиновым и его радикал нулевой.

Полупростые кольца

Кольцо называется полупростым (слева), если оно полупросто как (левый) модуль над самим собой. Оказывается, что полупростые слева кольца полупросты справа и наоборот, так что можно говорить о полупростых кольцах.

Полупростые кольца можно охарактеризовать в терминах гомологической алгебры: кольцо R полупросто тогда и только тогда, когда всякая короткая точная последовательность (левых) R-модулей расщепляется. В частности, модуль над полупростым кольцом инъективен и проективен.

Полупростые кольца являются одновременно артиновыми и нётеровыми. Если существует гомоморфизм из поля в полупростое кольцо, оно называется полупростой алгеброй.

Примеры

• Коммутативное полупростое кольцо изоморфно прямому произведению полей.
• Если k — поле и G — конечная группа порядка n, то групповое кольцо k[G] является полупростым тогда и только тогда, когда характеристика поля не делит n. Этот результат известен как теорема Машке и важен в теории представлений групп.

Теорема Веддербёрна — Артина

Теорема Веддербёрна — Артина утверждает, что любое полупростое кольцо изоморфно прямому произведению колец матриц n_i на n_i с элементами в теле D_i, причем числа n_i определены однозначно, и тела — с точностью до изоморфизма. В частности, простое кольцо изоморфно кольцу матриц над телом.

Оригинальный результат Веддербёрна состоял в том, что простое кольцо, являющееся конечномерной простой алгеброй над телом, изоморфно кольцу матриц. Эмиль Артин обобщил теорему на случай полупростых (артиновых) колец.

Примеры случаев, в которых можно применить теорему Веддербёрна — Артина: каждая конечномерная простая алгебра над R является кольцом матриц над R, C или H (кватернионами), каждая конечномерная простая алгебра над С является кольцом матриц над С.

Литература

• Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra II (2nd ed.), W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5
• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95325-0, MR: 1838439
• R.S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.