Тау-число

Не следует путать с числом Тау.

Тау-число ($\tau$-число, англ. refactorable number) — целое число $n$, делящееся на число своих делителей, или, выражаясь алгебраически, такое $n$, что $\tau (n)|n$. Первые несколько тау-чисел:

1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88, 96.

Например, 18 имеет шесть делителей (1, 2, 3, 6, 9, 18) и делится на 6.

Тау-числа имеют асимптотическую плотность нуль. Никакие три последовательных целых числа не могут быть тау-числами Колтон доказал, что ни одно тау-число не является совершенным. Уравнение $(n,x)=\tau (n)$ (где $(n,x)$ — наибольший общий делитель $n$ и $x$) имеет решение только в случае, если $n$ — тау-число.

Остаются нерешёнными несколько проблем относительно тау-чисел:

• существуют ли сколь угодно большие $n$, для которых и $n$, и $n+1$ являются тау-числами
• если существует тау-число $n_{0}\equiv a{\pmod {m}}$, следует ли из этого, что существует $n>n_{0}$, такое что $n$ является тау-числом и $n\equiv a{\pmod {m}}$.

Тау-числа были впервые определены Кёртисом Купером и Робертом Кеннеди в 1990 году, установившими, что тау-числа имеют нулевую асимптотическую плотность. Позднее они были переоткрыты Саймоном Колтоном (Simon Colton) с помощью программы, которую он написал для изобретения и проверки различных определений в теории чисел и теории графов. Колтон назвал эти числа англ. refactorable. Хотя компьютерные программы и обнаруживали доказательства ранее, это был первый случай, когда программа нашла новую или ранее незамеченную идею. Колтон доказал много результатов о тау-числах, показав бесконечность их числа и несколько условий их распределения.