Тригонометрические преобразования Фурье

Синус-преобразование Фурье и косинус-преобразование Фурье — одни из видов преобразований Фурье, не использующих комплексные числа.

Определение

Синус-преобразование Фурье ${\hat {f}}^{s}$ или ${\mathcal {F}}_{s}(f)$ функции $f(t)$ равно

2\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{2\pi \nu t}\,dt.

,

где

t

— время,

\nu

— частота колебаний.

Функция ${\hat {f}}^{s}(\nu )$ нечётна по $\nu$ , то есть

{\hat {f}}^{s}(\nu )=-{\hat {f}}^{s}(-\nu )

для любого

\nu

.

Косинус-преобразование Фурье ${\hat {f}}^{c}$ или ${\mathcal {F}}_{c}(f)$ функции $f(t)$ равно

2\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{2\pi \nu t}\,dt.

где

t

— время,

\nu

— частота колебаний.

Функция ${\hat {f}}^{c}(\nu )$ чётна по $\nu$ , то есть ${\hat {f}}^{c}(\nu )={\hat {f}}^{c}(-\nu )$ для любого $\nu$ .

Изначальная функция $f(t)$ может быть найдена по формуле

f(t)=\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{c}\cos(2\pi \nu t)d\nu +\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{s}\sin(2\pi \nu t)d\nu .

Используя формулу сложения для косинуса, получим, что

{\frac {\pi }{2}}(f(x+0)+f(x-0))=\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cos \omega (t-x)f(t)dtd\omega ,

,

где

f(x+0)

и

f(x-0)

Если функция $f(t)$ чётная, то часть формулы с синусом обращается в нуль, если $f(t)$ нечётная, то исчезает косинус.

Сегодня чаще используется формула синус- и косинус-преобразования Фурье в комплексном виде

{\hat {f}}(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\nu t}\,dt.

Используя формулу Эйлера, получим

{\hat {f}}(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos \,{2\pi \nu t}-i\,\sin {2\pi \nu t})\,dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{2\pi \nu t}\,dt-i\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{2\pi \nu t}\,dt={\frac {1}{2}}{\hat {f}}^{c}(\nu )-{\frac {i}{2}}{\hat {f}}^{s}(\nu ).

Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, стр. 189, 211