Предельная точка

Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

Определение и типы предельных точек

Точка $x$ называется предельной точкой подмножества $A$ в топологическом пространстве $X$, если всякая проколотая окрестность точки $x$ имеет с $A$ непустое пересечение.

Точка $x$ называется точкой накопления подмножества $A$, если всякая окрестность точки $x$ имеет с $A$ бесконечное число общих точек. Для T₁-пространств (то есть пространств, у которых все точки (одноточечные множества) замкнуты), понятия предельная точка и точка накопления равносильны.

Точка $x$ называется точкой конденсации подмножества $A$, если всякая окрестность точки $x$ содержит несчётное множество точек $A$.

Точка $x$ называется точкой полного накопления подмножества $A$, если для всякой окрестности $U$ точки $x$ мощность пересечения $U\cap A$ равна мощности множества $A$.

Связанные понятия и свойства

• Точка $x$ называется точкой прикосновения подмножества $A$ в топологическом пространстве $X$, если всякая окрестность точки $x$ имеет с $A$ непустое пересечение. Множество всех точек прикосновения множества $A$ составляет его замыкание ${\bar {A}}$.

• Изолированной называется такая точка $x\in A$, у которой есть окрестность, не имеющая с $A$ других общих точек, кроме $x$. Подмножество в $A$, состоящее из одной этой точки, является открытым в $A$ (в индуцированной топологии).

• Таким образом, все точки прикосновения любого множества $A\subset X$ (то есть точки замыкания ${\bar {A}}$) делятся на два вида: предельные и изолированные точки $A$. Вторые составляют подмножество $A$, первые же могут как принадлежать, так и не принадлежать ему.

• Совокупность всех предельных точек множества $A$ называется его произво́дным мно́жеством и обозначается $A'$. Все предельные точки множества входят в его замыкание ${\bar {A}}$. Более того, справедливо равенство: ${\bar {A}}=A\cup A'$, из которого легко получается следующий критерий замкнутости подмножеств: Множество A замкнуто тогда и только тогда, когда содержит все свои предельные точки.

• Если $x$ — предельная точка множества $A$, то существует направление точек из $A$, сходящееся к $x$.

• В метрических пространствах, если $x$ — предельная точка множества $A$, то существует последовательность точек из $A$ сходящаяся к $x$. Топологические пространства, для которых выполняется это свойство, называются пространствами Фреше — Урысона.
• Топологическое пространство $X$ компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в $X$.

• Топологическое пространство $X$ счётно компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну строгую предельную точку в $X$. Всякий компакт счётно компактен. Для метрических пространств верно и обратное (критерий компактности метрического пространства): метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно счётно компактно.

(В частности, поскольку отрезок прямой компактен, то он счётно компактен. Следовательно, всякое бесконечное ограниченное подмножество прямой имеет хотя бы одну предельную точку.)

• Замкнутое множество в хаусдорфовом пространстве называется совершенным, если каждая его точка является предельной (то есть, если множество не содержит изолированных точек). Примерами совершенных множеств могут служить отрезок прямой, множество Кантора.

Примеры

• Рассмотрим множество вещественных чисел $\mathbb {R}$ со стандартной топологией, порождённой открытыми интервалами. Тогда относительно этой топологии имеем:
  • $(a,b)'=[a,b];$
  • $\mathbb {Q} '=\mathbb {R} ,$ где $\mathbb {Q}$ — множество рациональных чисел;
  • $\mathbb {Z} '=\varnothing ,$ где $\mathbb {Z}$ — множество целых чисел;
• Пусть $\omega _{1}$ — первый несчётный ординал. Рассмотрим $[0,\omega _{1}]$ — ординал $\omega _{1}+1$ с порядковой топологией. Точка $\omega _{1}$ является предельной точкой множества $[0,\omega _{1})$, однако не существует последовательности из элементов этого множества, сходящейся к $\omega _{1}$.

Предельная точка числового множества

В частности, предельной точкой числового множества, имеющего бесконечное число элементов, называется точка числовой прямой, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этого множества. Также можно считать предельной точкой такого множества $-\infty$, если из некоторых его элементов можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными отрицательными элементами. Если же можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными положительными элементами, то можно считать предельной точкой $+\infty$.

Верхняя предельная точка числового множества — это наибольшая из его предельных точек.

Нижняя предельная точка числового множества — это наименьшая из его предельных точек.

Свойства

• У любого ограниченного числового множества, имеющего бесконечное число элементов, существуют и верхняя, и нижняя предельные точки (в множестве вещественных чисел). Если добавить в множество вещественных чисел $-\infty$ и $+\infty$, то в получившемся множестве предельные точки имеют вообще все числовые множества с бесконечным числом элементов.

• Из элементов любого ограниченного числового множества, имеющего бесконечное число элементов, можно выделить сходящуюся последовательность, элементы которой попарно различны.

Предельная точка числовой последовательности

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности.

$x$ — предельная точка последовательности $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists X\subseteq \mathbb {N} \colon \left|X\right|=\aleph _{0}\land \forall i\in X\colon \left|x_{i}-x\right|<\varepsilon$

Наибольшая предельная точка последовательности называется её верхним пределом, а наименьшая предельная точка — нижним пределом.

Иногда во множество возможных предельных точек включают «$-\infty$» и «$+\infty$». Так, если из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой отрицательны, то говорят, что «$-\infty$» является предельной точкой этой последовательности. Если же из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность с исключительно положительными элементами, то говорят, что «$+\infty$» является её предельной точкой. При этом, разумеется, у последовательности могут быть и другие предельные точки.

Свойства

• Точка является предельной точкой последовательности тогда и только тогда, когда из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к этой точке (то есть точка является частичным пределом последовательности).

  $x$ — предельная точка последовательности $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\Leftrightarrow \exists \left\{k_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\forall i\in \mathbb {N} \colon k_{i}<k_{i+1}\land \lim _{n\to \infty }x_{k_{n}}=x$

  Иногда это свойство принимают за определение, а приведённое выше определение — за свойство.

• Всякая сходящаяся числовая последовательность имеет только одну предельную точку.

  $x,x'$ — предельные точки последовательности $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\land \exists \lim _{n\to \infty }x_{n}\Rightarrow x=x'$

• Предельная точка любой сходящейся числовой последовательности совпадает с её пределом.

  $x$ — предельная точка последовательности $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\land \exists \lim _{n\to \infty }x_{n}\Rightarrow \lim _{n\to \infty }x_{n}=x$

• Для любого конечного множества точек можно построить последовательность, для которой эти точки будут являться предельными и никакие, кроме них.
• У произвольной числовой последовательности имеется хотя бы одна предельная точка (либо вещественная, либо бесконечность).

Примеры

• У последовательности из единиц $\left\{1\right\}_{n=1}^{\infty }$ существует единственная предельная точка 1 (хотя она не является предельной точкой множества значений элементов последовательности, состоящего из одного элемента).
• У последовательности $\left\{1/n\right\}_{n=1}^{\infty }$ существует единственная предельная точка 0.
• У последовательности натуральных чисел $\left\{n\right\}_{n=1}^{\infty }$ нет предельных точек (или, в других терминах, имеется предельная точка $+\infty$).
• У последовательности $\left\{\left(-1\right)^{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ существуют две предельные точки: −1 и +1.
• У последовательности из всех рациональных чисел $\left\{q_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$, занумерованных произвольным образом, существует бесконечно много предельных точек.

Предельная точка направления

Пусть $\left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }$ — направление элементов топологического пространства $X$. Тогда $x$ называется предельной точкой направления, если для любой окрестности $U$ точки $x$ и для любого $\alpha \in \mathrm {A}$ найдётся индекс $\beta \in \mathrm {A}$ такой что $\beta \geqslant \alpha$ и $x_{\beta }\in U$

Свойства

• Точка является предельной точкой направления тогда и только тогда, когда существует поднаправление, сходящееся к этой точке.
  • В частности, точка является предельной точкой последовательности тогда и только тогда, когда существует поднаправление, сходящееся к этой точке.
  • Если каждая точка топологического пространства обладает счётной базой, то в предыдущем пункте можно говорить о подпоследовательностях.

Примеры

Пусть $A=[0,1)$ — направлено по возрастанию. У направления $\left\{\alpha \right\}_{\alpha \in A}$ существует единственная предельная точка ${1}$ в топологическом пространстве $[0,1]$.

См. также

• Изолированная точка

Литература

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984. — 752 с.