В анализе функций действительных переменных производные Дини — это одно из обобщений понятия производной.

Верхняя производная Дини непрерывной функции

обозначается через и определяется как

,

где есть верхний частичный предел.

Нижняя производная Дини, определяется как

,

где есть нижний частичный предел.

Если определена на векторном пространстве, тогда верхняя производная Дини в точке по направлению определяется как

Если локально липшицева (то есть у каждой точки существует окрестность, ограничение на которую — липшицева функция), то конечна. Если дифференцируема в точке , тогда производная Дини в этой точке совпадает с обычной производной в .

Примечания

править
  • Иногда используют обозначение   вместо   и   используется вместо  
  • Также используют обозначения
 
и
 
  • Таким образом, когда используется  -нотация производных Дини, знаки плюс и минус обозначают левосторонний или правосторонний предел, а положение знака указывают на тип производной (верхняя или нижняя).
  • На расширенной числовой прямой каждая из производных Дини всегда существует, однако они могут иногда принимать значения   или  

Литература

править
  • Royden, H.L. Real analysis (неопр.). — 2nd. — MacMillan, 1968. — ISBN 978-0-02-404150-0.