Численное дифференцирование

Численное дифференцирование — совокупность методов приближённого вычисления значения производной некоторой функции, заданной таблично или имеющей сложное аналитическое выражение.

Конечные разности

Основная статья: Конечные разности § Связь с производными

Производная функции $f$ в точке $x$ определяется с помощью предела:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

В числителе дроби под знаком предела стоит конечная разность функции $f$, в знаменателе — шаг этой разности. Поэтому простейшим методом аппроксимации производной является использование конечных разностей функции $f$ с некоторым достаточно малым шагом $h$. Например, выражение

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

приближает производную функции $f$ в точке $x$ с точностью до величины, пропорциональной $h$. Использование выражения

${\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}$

позволяет сократить ошибку приближения до величины, пропорциональной $h^{2}$.

Конечными разностями можно также приближать производные высших порядков.

Интерполяция

Если известны значения функции $f$ в некоторых узлах $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N}$, то можно построить интерполяционный полином $P_{N}(x)$ (например, в форме Лагранжа или в форме Ньютона) и приближенно положить

$f^{(r)}(x)\approx P_{N}^{(r)}(x),\;0\leq r\leq N.$

Такие выражения называются формулами численного дифференцирования.

Иногда наряду с приближенным равенством удаётся (например, используя формулу Тейлора) получить точное равенство, содержащее остаточный член $R(x)$, называемый погрешностью численного дифференцирования:

$f^{(r)}(x)=P_{N}^{(r)}(x)+R(x),\;0\leq r\leq N.$

Такие выражения называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Степень, с которой величина $h={\mbox{max}}\{x_{i}-x_{i-1}\,|\,i=1,\ldots ,N\}$ входит в остаточный член, называется порядком погрешности формулы численного дифференцирования.

Далее приводятся несколько формул численного дифференцирования с остаточными членами для первой $({r=1})$ и второй $({r=2})$ производных для равноотстоящих узлов с постоянным шагом ${h>0}$, полученных с использованием формулы Лагранжа:

• $r=1,\;N=1$ (два узла):

$f'(x_{0})={\frac {f_{1}-f_{0}}{h}}-{\frac {h}{2}}f''(\xi ),$

$f'(x_{1})={\frac {f_{1}-f_{0}}{h}}+{\frac {h}{2}}f''(\xi ).$

• $r=1,\;N=2$ (три узла):

$f'(x_{0})={\frac {-3f_{0}+4f_{1}-f_{2}}{2h}}+{\frac {h^{2}}{3}}f'''(\xi ),$

$f'(x_{1})={\frac {f_{2}-f_{0}}{2h}}-{\frac {h^{2}}{6}}f'''(\xi ),$

$f'(x_{2})={\frac {f_{0}-4f_{1}+3f_{2}}{2h}}+{\frac {h^{2}}{3}}f'''(\xi ).$

• $r=2,\;N=2$ (три узла):

$f''(x_{0})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-hf'''(\xi ),$

$f''(x_{1})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ),$

$f''(x_{2})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}+hf'''(\xi ).$

• $r=2,\;N=3$ (четыре узла):

$f''(x_{0})={\frac {2f_{0}-5f_{1}+4f_{2}-f_{3}}{h^{2}}}+{\frac {11h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ),$

$f''(x_{1})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ),$

$f''(x_{2})={\frac {f_{1}-2f_{2}+f_{3}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ),$

$f''(x_{3})={\frac {-f_{0}+4f_{1}-5f_{2}+2f_{3}}{h^{2}}}+{\frac {11h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ).$

Здесь $f_{i}=f(x_{i})$, $i=0,\ldots ,N$, а $\xi$ — некоторая промежуточная точка между наибольшим и наименьшим из узлов.

В общем случае коэффициенты формул численного дифференцирования можно вычислить для произвольной сетки узлов и любого порядка производной.

Неустранимая погрешность

В формулах численного дифференцирования с постоянным шагом $h$ значения функции $f$ делятся на $h^{r}$, где $r$ — порядок вычисляемой производной. Поэтому при малом $h$ неустранимые погрешности в значениях функции $f$ оказывают сильное влияние на результат численного дифференцирования. Таким образом, возникает задача выбора оптимального шага $h$, так как погрешность собственно метода стремится к нулю при $h\to {0}$, а неустранимая погрешность растет. В результате общая погрешность, которая возникает при численном дифференцировании, может неограниченно возрастать при $h\to {0}$. Поэтому задача численного дифференцирования считается некорректно поставленной.

Комплексные числа

Классические приближения конечными разностями содержат неустранимую погрешность и являются плохо обусловленными. Однако, если функция $f$ является голоморфной, принимает вещественные значения на вещественной прямой и может быть оценена в любой окрестности любой вещественной точки комплексной плоскости, то её производная может быть вычислена устойчивыми методами. Например, первую производную можно сосчитать по формуле с комплексным шагом:

$f'(x)={\frac {{\mbox{Im}}(f(x+ih))}{h}}+O\left(h^{2}\right),$

где $i$ — мнимая единица. Эту формулу можно получить из следующего разложения в ряд Тейлора:

$f(x+ih)=f(x)+ihf'(x)-h^{2}{\frac {f''(x)}{2!}}-ih^{3}{\frac {f'''(x)}{3!}}+\ldots .$

В общем случае производные произвольного порядка можно вычислить с помощью интегральной формулы Коши:

$f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}\,\mathrm {d} z.$

Интеграл можно вычислять приближённо.

Литература

• Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. — 636 с., илл. — ISBN 5-94774-175-X.
• Березин, И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том I. — 2-е изд., стереотипное – М.: Физматгиз. 1962.
• Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. – М.: Наука. 1982. – 342 с.

См. также

• Разделенная разность
• Численное интегрирование