Закон радиоактивного распада

Основная статья: Радиоактивный распад

Зако́н радиоакти́вного распа́да — физический закон, описывающий зависимость интенсивности радиоактивного распада от времени и от количества радиоактивных атомов в образце. Открыт Фредериком Содди и Эрнестом Резерфордом, каждый из которых впоследствии был награждён Нобелевской премией. Они обнаружили его экспериментальным путём и опубликовали в 1903 году в работах «Сравнительное изучение радиоактивности радия и тория» и «Радиоактивное превращение», сформулировав следующим образом:

Во всех случаях, когда отделяли один из радиоактивных продуктов и исследовали его активность независимо от радиоактивности вещества, из которого он образовался, было обнаружено, что активность при всех исследованиях уменьшается со временем по закону геометрической прогрессии.

из чего с помощью теоремы Бернулли учёные сделали вывод:

Скорость превращения всё время пропорциональна количеству систем, ещё не подвергнувшихся превращению.

Существует несколько формулировок закона, например, в виде дифференциального уравнения:

${\frac {dN}{dt}}=-\lambda N,$

которое означает, что число распадов dN, произошедшее за короткий интервал времени dt, пропорционально числу атомов N в образце.

Экспоненциальный закон

Экспоненциальная кривая радиоактивного распада: по оси абсцисс («оси x») — нормированное время $\Theta =t/\tau ,$ по оси ординат («оси y») — доля $N/N_{0}$ ещё нераспавшихся ядер или скорость распада в единицу времени $\mathrm {I} (\tau )=dN/d\Theta$

В указанном выше математическом выражении неотрицательная константа $\lambda$ — постоянная распада, которая характеризует вероятность радиоактивного распада за единицу времени и имеющая размерность с⁻¹. Знак минус указывает на убыль числа радиоактивных ядер со временем.

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

$N(t)=N_{0}e^{-\lambda t},$

где $N_{0}$ — начальное число атомов, то есть число атомов для $t=0.$

Таким образом, число радиоактивных атомов уменьшается со временем по экспоненциальному закону. Скорость распада, то есть число распадов в единицу времени:

$\mathrm {I} (t)=-{\frac {dN}{dt}},$

также падает экспоненциально. Дифференцируя выражение для зависимости числа атомов от времени, получаем:

$\mathrm {I} (t)=-{\frac {d}{dt}}(N_{0}e^{-\lambda t})=\lambda N_{0}e^{-\lambda t}=\mathrm {I} _{0}e^{-\lambda t},$

где $\mathrm {I} _{0}$ — скорость распада в начальный момент времени $t=0.$

Таким образом, зависимость от времени числа нераспавшихся радиоактивных атомов и скорости распада описывается одной и той же постоянной $\lambda$.

Характеристики распада

Наглядная демонстрация закона.

Кроме константы распада $\lambda ,$ радиоактивный распад характеризуют ещё двумя производными от неё константами, рассмотренными ниже.

Среднее время жизни

Основная статья: Время жизни

Из закона радиоактивного распада можно получить выражение для среднего времени жизни радиоактивного атома. Число атомов, в момент времени $t$ претерпевших распад в пределах интервала $dt$ равно $-dN,$ их время жизни равно $-tdN.$ Среднее время жизни получаем интегрированием по всему периоду распада:

$\tau =-{\frac {1}{N_{0}}}\int _{N_{0}}^{0}tdN=\lambda \int _{0}^{\infty }te^{-\lambda t}dt={\frac {1}{\lambda }}.$

Подставляя эту величину в экспоненциальные временные зависимости для $N(t)$ и $\mathrm {I} (t),$ легко видеть, что за время $\tau$ число радиоактивных атомов и активность образца (количество распадов в секунду) уменьшаются в e раз.

Период полураспада

Основная статья: Период полураспада

На практике получила большее распространение другая временная характеристика — период полураспада $T_{1/2},$ равная времени, в течение которого число радиоактивных атомов или активность образца уменьшаются в 2 раза.

Связь этой величины с постоянной распада можно вывести из соотношения ${\frac {N(T_{1/2})}{N_{0}}}=e^{-\lambda T_{1/2}}=1/2,$ откуда:

$T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda }}=\tau \ln 2\approx 0,693\tau .$

Примеры характеристик распада

Существующие в природе радиоактивные изотопы в основном возникают в сложных цепочках распадов урана и тория и имеют периоды полураспада в очень широкой области значений: от 3⋅10⁻⁷ секунды для ²¹²Po до 1,4⋅10¹⁰ лет для ²³²Th. Наибольший экспериментально измеренный период полураспада имеет изотоп теллура ¹²⁸Te — 2,2⋅10²⁴ лет. Само существование в настоящее время многих естественных радиоактивных элементов несмотря на то, что с момента образования этих элементов при звёздном нуклеосинтезе прошло более 4,5 млрд лет, является следствием очень больших периодов полураспада ²³⁵U, ²³⁸U, ²³²Th и других природных радионуклидов. К примеру, изотоп ²³⁸U стоит в начале длинной цепочки (так называемый ряд радия), состоящей из 20 изотопов, каждый из которых возникает при α-распаде или β-распаде предыдущего элемента. Период полураспада ²³⁸U (4,5⋅10⁹ лет) много больше, чем период полураспада любого из последующих элементов радиоактивного ряда, поэтому распад в целом всей цепочки происходит за то же время, что и распад ²³⁸U, её родоначальника, в таких случаях говорят, что цепочка находится в состоянии секулярного (или векового) равновесия. Примеры характеристик распада некоторых веществ:

Вещество	238U	235U	234U	210Bi	210Tl
Период полураспада, $T_{1/2}$	4,5⋅109 лет	7,13⋅108 лет	2,48⋅105 лет	4,97 дня	1,32 минуты
Постоянная распада, $\lambda$	4,84⋅10−18 с−1		8,17⋅10−14 с−1	1,61⋅10−6с−1	8,75⋅10−3 с−1
Частица	α	α	α	β	β
Полная энергия распада, МэВ	4,2699	4,6780	4,8575	1,1612	5,482

Интересные факты

Один из открывших закон, Фредерик Содди, в своей научно-популярной книге «The story of atomic energy», изданной в 1949 году, видимо из скромности, ничего не пишет о своём (но и чьём-либо ещё тоже) вкладе в создание этой теории, зато довольно оригинально отзывается о ней:

Следует отметить, что закон превращений одинаков для всех радиоэлементов, являясь самым простым и в то же время практически необъяснимым. Этот закон имеет вероятностную природу. Его можно представить в виде духа разрушения, который в каждый данный момент наугад расщепляет определённое количество существующих атомов, не заботясь об отборе тех из них, которые близки к своему распаду.