Подкатегория

Подкатегория в теории категорий — категория ${\mathcal {S}}$, объекты которой являются также объектами заданной категории ${\mathcal {C}}$ и морфизмы которой являются также морфизмами в ${\mathcal {C}}$, с теми же тождественными морфизмами и правилами композиции.

Формально подкатегория ${\mathcal {S}}$ для категории ${\mathcal {C}}$ задаётся при помощи:

• подкласса объектов $\mathrm {Ob} ({\mathcal {S}})\subseteq \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}})$,
• подкласса морфизмов $\mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})\subseteq \mathrm {Hom} ({\mathcal {C}})$

таких, что выполняются следующие условия:

• для каждого $X\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {S}})$ тождественный морфизм $\mathrm {id} _{X}$ принадлежит $\mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})$,
• для каждого морфизма $f\colon X\to Y$ в $\mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})$ его прообраз $X$ и образ $Y$ лежат в $\mathrm {Ob} ({\mathcal {S}})$,
• для каждой пары морфизмов $f$, $g$ в $\mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})$ их композиция $f\circ g$ лежит в $\mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})$, если она определена в ${\mathcal {C}}$.

Из этих условий следует, что ${\mathcal {S}}$ является категорией. Существует очевидный унивалентный функтор $I\colon {\mathcal {S}}\longrightarrow {\mathcal {C}}$, называемый функтором вложения.

Подкатегория ${\mathcal {S}}$ называется полной подкатегорией ${\mathcal {C}}$, если для каждой пары объектов $X,Y\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {S}})$ выполнено $\mathrm {Hom} _{\mathcal {S}}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$.

Подкатегория ${\mathcal {S}}$ категории ${\mathcal {C}}$ называется замкнутой относительно изоморфизма, если любой изоморфизм $k\colon X\to Y$ в ${\mathcal {C}}$, такой что $Y$ принадлежит ${\mathcal {S}}$, также принадлежит ${\mathcal {S}}$. Замкнутая относительно изморфизма полная подкатегория называется строго полной.

Подкатегория ${\mathcal {S}}$ — широкая, если она содержит все объекты ${\mathcal {C}}$. В частности, единственная широкая полная подкатегория категории ${\mathcal {C}}$ — сама ${\mathcal {C}}$.

Отражающая подкатегория — подкатегория, функтор вложения которой имеет левый сопряжённый.

Литература

• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.