Экспоненциальное распределение

Экспоненциа́льное (или показа́тельное) распределе́ние — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Показательное распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	$\mathrm {Exp} (\lambda ),{\mathcal {E}}(\lambda )$
Параметры	$\lambda >0$ — интенсивность или обратный коэффициент масштаба
Носитель	$x\in [0;\infty )$
Плотность вероятности	$\lambda e^{-\lambda x}$
Функция распределения	$1-e^{-\lambda x}$
Математическое ожидание	$\lambda ^{-1}$
Медиана	$\ln(2)/\lambda$
Мода	$0$
Дисперсия	$\lambda ^{-2}$
Коэффициент асимметрии	$2$
Коэффициент эксцесса	$6$
Дифференциальная энтропия	$1-\ln(\lambda )$
Производящая функция моментов	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}$
Характеристическая функция	$\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}$

Определение

Случайная величина $X$ имеет экспоненциальное распределение с параметром $\lambda >0$, если её плотность вероятности имеет вид:

$f_{X}(x)={\begin{cases}\lambda \,e^{-\lambda x},&x\geq 0,\\0,&x<0.\end{cases}}$.

Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно $1/\lambda$. Сам параметр $\lambda$ тогда может быть интерпретирован как среднее число новых покупателей за единицу времени.

В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины $X$ задана первым уравнением, и будем писать: $X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )$.

Функция распределения

Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения:

$F_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\lambda x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.$

Моменты

Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид:

$\mathrm {M} _{X}(t)=\left(1-{t \over \lambda }\right)^{-1}$,

откуда получаем все моменты:

$\mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}$.

В частности,

$\mathbb {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}$,

$\mathbb {E} \left[X^{2}\right]={\frac {2}{\lambda ^{2}}}$,

$\operatorname {D} [X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}$.

Независимость событий

Пусть $X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )$. Тогда $\mathbb {P} (X>s+t\mid X\geqslant s)=\mathbb {P} (X>t)$.

Пример. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать.

Связь с другими распределениями

• Экспоненциальное распределение является распределением Пирсона типа X.
• Минимум независимых экспоненциальных случайных величин также экспоненциальная случайная величина. Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n}$ независимые случайные величины, и $X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{i})$. Тогда:

$Y=\min \limits _{i=1,\ldots ,n}(X_{i})\sim \mathrm {Exp} \left(\sum \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).$

• Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения:

$\mathrm {Exp} (\lambda )\equiv \Gamma (1,1/\lambda ).$

• Сумма независимых одинаково распределённых экспоненциальных случайных величин имеет гамма-распределение. Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n}$ независимые случайные величины, и $X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda )$. Тогда:

$Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma (n,1/\lambda ).$

• Экспоненциальное распределение может быть получено из непрерывного равномерного распределения методом обратного преобразования. Пусть $U\sim U[0,1]$. Тогда:

$X=-{\frac {1}{\lambda }}\ln U\sim \mathrm {Exp} (\lambda ).$

• Экспоненциальное распределение с параметром $\lambda =1/2$ — это частный случай распределения хи-квадрат:

$\mathrm {Exp} (1/2)\equiv \chi ^{2}(2).$

• Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла.
• Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n}$ независимые случайные величины, и $X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda )$и $Y=\max {X_{1},...,X_{n}},Z=X_{1}+{\frac {X_{2}}{2}}+...+{\frac {X_{n}}{n}}$. Тогда:

$P(Y<t)=(1-\exp(-\lambda t))^{n},P(Z<t)=(1-\exp(-\lambda t))^{n}.$

Литература

• Королюк В. С., Портенко Н. И.,Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.