Подерное преобразование

Основная статья: Подера

Поде́рное преобразова́ние кривой относительно фиксированной точки — преобразование плоскости, отображающее любую кривую плоскости в другую кривую следующим образом: каждая точка исходной кривой отображается в основание перпендикуляра, опущенного из данной фиксированной точки на касательную к исходной кривой, проведённую в текущей точке. Фиксированная точка называется центром преобразования. Линия, в которую отображается исходная кривая, называется подерой.

Улитка Паскаля — подера окружности

Подерное преобразование есть неточечное преобразование, поскольку оно отображает кривую в кривую, то есть это преобразование в множестве кривых, причём его не получится представить как преобразование в множестве точек, так как оно не сохраняет точки, прямые и окружности.

Например:

• подера прямой есть точка — основание перпендикуляра, опущенного из центра преобразования на прямую;
• подера точки, представленной как пучок прямых, «касательных» к этой точке, есть окружность с диаметром — отрезком с концами в исходной точке и в центре преобразования;
• подера окружности относительно своего центра, — эта же окружность;
• подера окружности относительно точки, лежащей не в центре окружности, — это улитка Паскаля.

• Подера окружности — улитка Паскаля
• 
  Центр преобразования внутри окружности
• 
  Центр преобразования на окружности — кардиоида
• 
  Центр преобразования вне окружности

Подерное преобразование как касательное

Подерное преобразование можно представить не только как отображение линни в линию (прямая и точка считаются линиями), но и как отображение линейного элемента плоскости в линейный элемент.

При подерном преобразовании его центр и любая точка исходной кривой вместе с её касательной полностью определяют:

• точку подеры, соответствующую точке исходной кривой;
• касательную к подере в этой точке.

Любая точка подеры определяется по определению. Касательная к подере в данной точке определяется как касательная к окружности, проходящей через три точки: центр подерного преобразования, точку подеры и её прообраз на исходной кривой. Диаметр этой окружности — отрезок с концами в центре подерного преобразования и точке подеры.

Отсюда следует, что подерное преобразование отображает кривые, касающиеся друг друга в некоторой точке, в подеры, касающиеся друг в друга в точке, в которую отображается исходная точка. Иначе точка кривой с заданным в ней направлением отображается подерным преобразованием в току подеры с заданным в ней направлением. Следовательно, подерное преобразование отображает линейный элемент плоскости в линейный элемент, то есть действует в множестве линейных элементов.

Таким образом, подерное преобразование отображает кривую, представляющую собой набор своих линейных элементов, в подеру, составленную из линейны элементов, в которые отображаются линейные элементы исходной кривой. То есть подерное преобразование есть касательное преобразование (преобразование Ли).

Источники

• Иванов А. Б. Подера // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 370.
• Подера и антиподера // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1975. Т. 20. Плата — проб. 1975. 608 с. с илл., 17 л. илл., 4 л. карт. С. 109.
• Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 49—158.
• Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил.
• Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.