Подера

Поде́ра (фр. podaire, от др.-греч. πούς, род. пад. ποδός — нога, то есть стопа перпендикуляра; англ. pedal curve; pedal) кривой относительно точки — некоторая кривая, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки на касательные к данной кривой.

Геометрическое построение красных точек подеры, контраподеры и ортотомики точки P кривой C относительно полюса O

Устаревший термин подэ́ра, или подэ́рная крива́я.

В некоторых математических текстах вместо русского термина «подера» используется калька с английского «педаль».

Например, подера окружности относительно точки, лежащей не в центре окружности, — это улитка Паскаля.

Подера кривой есть инверсия полярного преобразования кривой, полюсы которых совпадают с полюсом подеры.

Впервые подера рассмотрена 30 июня 1718 года Колином Маклореном (англ. Colin Maclaurin), профессором математики из Абердина, в журнале Философские труды Королевского общества (англ. Philosophical Transactions of the Royal Society) в статье на латинском языке «III. Трактат о построении и измерении кривых, где большинство бесконечных серий кривых сводятся либо к прямым линиям, либо к более простым кривым. Автор Колин Маклорен, профессор математики в колледже Нового Абердина» (лат. III. Tractatus de Curvarum Constructione et Mensura; ubi plurimae Series Curvarum Infinitae vel rectis mensurantur vel ad Simpliciores Curvas reducuntur. Autore Colin Maclaurin, in Collegio novo Abredonensi Matheseos Professore).

Определения

Определения подеры и антиподеры на плоскости

Поде́ра, или (первая) позитивная подера, или подошвенная кривая (англ. pedal; pedal curve; first positive pedal), кривой — некоторая кривая, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из фиксированной точки, которая называется полюсом, или центром, или точкой подеры, на касательные к исходной кривой. Подера кривой порядка $n$, $n\geqslant 1$, имеет порядок $\leqslant 2n(n-1)$.

Устаревший термин подэ́ра, или подэ́рная крива́я.

В некоторых математических текстах вместо русского термина «подера» используется калька с английского «педаль».

Основная статья: Антиподера

Парабола — антиподера прямой

Антиподе́ра, или (первая) негативная подера (англ. first negative pedal), кривой относительно точки — кривая, подера которой относительно той же точки есть исходная кривая. Другими словами, антиподера — огибающая кривая перпендикуляров, проведённых через точки исходной кривой к прямым, соединяющим точки исходной кривой с фиксированной точкой — полюсом.

Например, парабола есть антиподера прямой, если полюс антиподеры совпадает с фокусом параболы, как показано на рисунке справа.

Построение антиподеры исходя из уже построенной её подеры называется построением с помощью подеры.

Например, всегда получится коническое сечение, если осуществить построение с помощью подеры из окружности или прямой.

Поде́ры степене́й вы́ше пе́рвой обеих разновидностей определяются как подеры подер предыдущей степени с одним и тем же полюсом.

• Подеры кубики Чирнгауза и антиподеры секстики Кэли шести степеней
• 
  Парабола — 1‑я подера кубики Чирнгауза — 6‑я антиподера секстики Кэли
• 
  Прямая — 2‑я подера кубики Чирнгауза, парабола — 5‑я антиподера секстики Кэли
• 
  Точка — 3‑я подера кубики Чирнгауза, прямая — 4‑я антиподера секстики Кэли
• 
  Окружность — 4‑я подера кубики Чирнгауза, точка — 3‑я антиподера секстики Кэли
• 
  Кардиоида — 5‑я подера кубики Чирнгауза, окружность — 2‑я антиподера секстики Кэли
• 
  Секстика Кэли — 6‑я подера кубики Чирнгауза, кардиоида — 1‑я антиподера секстики Кэли

Определение подеры через инверсию и полярное преобразование

Имеет место схема преобразований кривых для подеры, инверсии и полярного преобразования кривой, показанная на рисунке справа, из которой вытекает следующее утверждение:

• подера кривой есть инверсия полярного преобразования кривой, окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом подеры.

Другие связанные определения

Основная статья: Подерное преобразование

Поде́рное преобразова́ние — преобразование плоскости, отображающее точки каждой кривой в соответствующие точки её подеры. Это преобразование неточечное, то есть оно не сохраняет точки, прямые и окружности. Подерное преобразование есть касательное преобразование (преобразование Ли).

Основная статья: Подерная система координат

Поде́рная систе́ма координа́т — система координат, основанная на подерном преобразовании и состоящие из двух величин: расстояний от полюса до точки кривой и до соответствующей точки её подеры.

Поде́ра пове́рхности, или подерная поверхность — некоторая поверхность, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из постоянной точки на касательные плоскости данной поверхности.

Подо́ида, или втори́чная ка́устика (англ. orthotomic; orthotomic curve; secondary caustic), кривой относительно данного полюса — кривая, получающаяся из подеры растяжением в два раза относительно полюса. Другими словами, подоида — некоторая кривая, составленная из точек, симметричных полюсу относительно касательных данной кривой. Эволюта ортотомики есть каустика.

В некоторых математических текстах вместо русского термина «подоида» используется калька с английского «ортото́мика».

Например, подоида конического сечения относительно его фокуса есть:

• окружность с центром в другом фокусе эллипса или гиперболы;
• директриса параболы.

Антиподо́ида кривой относительно полюса — кривая, подоида которой относительно полюса есть исходная кривая. Другими словами, антиподоида — огибающая кривая перпендикуляров, проведённых через середины отрезков, соединяющих точки исходной кривой с полюсом.

Контраподе́ра, или норма́льная поде́ра, или норма́льная поде́рная кри́вая (англ. contrapedal; normal pedal; normal pedal curve), кривой относительно полюса — подера эволюты этой кривой относительно того же полюса. Другими словами, котраподера — некоторая кривая, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из полюса на нормали данной кривой. Соответственно, подера кривой относительно полюса — это контраподера эвольвенты этой кривой относительно того же полюса

Уравнения подеры

Параметрические уравнения подеры

Параметрические уравнения подеры на вещественной плоскости

В общем случае, для параметрически заданной кривой $\mathbf {z} (t)=(x(t),\;y(t))$, имеющей производную $\mathbf {z} '(t)=(x'(t),\;y'(t))$, подера

$\operatorname {pedal} [\mathbf {z} ,\;\mathbf {z} _{0}](t)=\mathbf {Z} (t)=(X(t),\;Y(t))$

относительно точки $\mathbf {z} _{0}=(x_{0},\;y_{0})$ задаётся следующими уравнениями:

$X={\frac {x_{0}x'^{2}+xy'^{2}+(y_{0}-y)x'y'}{x'^{2}+y'^{2}}}=$

$=x-x'{\frac {(x-x_{0})x'+(y-y_{0})y'}{x'^{2}+y'^{2}}},$

$Y={\frac {y_{0}y'^{2}+yx'^{2}+(x_{0}-x)x'y'}{x'^{2}+y'^{2}}}=$

$=y-y'{\frac {(x-x_{0})x'+(y-y_{0})y'}{x'^{2}+y'^{2}}}.$

Эти основные уравнения можно принять за определение подеры.

Доказательство

Параметрическое уравнение касательной прямой $(X(t),\;Y(t))$ параметрически заданной кривой $(x(t),\;y(t))$, имеющей производную $(x'(t),\;y'(t))$, в точке $(x,\;y)$, имеет вид

$Y-y={\frac {y'}{x'}}(X-x).$

Параметрическое уравнение прямой $(X(t),\;Y(t)),$ перпендикулярной касательной и параллельной нормали к параметрически заданной кривой $(x(t),\;y(t))$, имеющей производную $(x'(t),\;y'(t))$, в точке $(x,\;y)$, имеет вид

$Y-y=-{\frac {x'}{y'}}(X-x).$

Если эта перпендикулярная прямая проходит через точку $(x_{0},\;y_{0})$, то она имеет вид

$Y-y_{0}=-{\frac {x'}{y'}}(X-x_{0}).$

Чтобы найти точку пересечения касательной прямой и прямой, перпендикулярной к ней и проходящей через точку $(x_{0},\;y_{0})$, нужно решить систему уравнений

$Y-y={\frac {y'}{x'}}(X-x),$

$Y-y_{0}=-{\frac {x'}{y'}}(X-x_{0}).$

Вычтем из левой и правой частей первого равнения соответственно левую и правую части второго:

$y_{0}-y={\frac {y'}{x'}}(X-x)+{\frac {x'}{y'}}(X-x_{0}),$

$y_{0}-y+{\frac {y'}{x'}}x+{\frac {x'}{y'}}x_{0}={\frac {y'}{x'}}X+{\frac {x'}{y'}}X,$

${\frac {y'^{2}+x'^{2}}{x'y'}}X={\frac {x'}{y'}}x_{0}+{\frac {y'}{x'}}x+y_{0}-y,$

$X={\frac {x_{0}x'^{2}+xy'^{2}+(y_{0}-y)x'y'}{x'^{2}+y'^{2}}}.$

Подставим полученное выражение для $X$ в первое уравнение системы уравнений:

$Y-y={\frac {y'}{x'}}\left(x-x'{\frac {(x-x_{0})x'+(y-y_{0})y'}{x'^{2}+y'^{2}}}-x\right),$

$Y=y-y'{\frac {(x-x_{0})x'+(y-y_{0})y'}{x'^{2}+y'^{2}}}.$

Иногда основные уравнения записывают в более сложном виде:

$X={\frac {x_{0}x'^{2}+xy'^{2}+(y_{0}-y)x'y'}{x'^{2}+y'^{2}}}=$

$=x_{0}+y'{\frac {(x-x_{0})y'-(y-y_{0})x'}{x'^{2}+y'^{2}}},$

$Y={\frac {y_{0}y'^{2}+yx'^{2}+(x_{0}-x)x'y'}{x'^{2}+y'^{2}}}=$

$=y_{0}-x'{\frac {(x-x_{0})y'-(y-y_{0})x'}{x'^{2}+y'^{2}}}.$

В частном случае, относительно полюса $\mathbf {z} _{0}=(0,\;0)$ в начале координат, основные уравнения будут такими:

$X={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}=x-x'{\frac {xx'+yy'}{x'^{2}+y'^{2}}}=y'{\frac {xy'-yx'}{x'^{2}+y'^{2}}},$

$Y={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}=y-y'{\frac {xx'+yy'}{x'^{2}+y'^{2}}}=x'{\frac {xy'-yx'}{x'^{2}+y'^{2}}}.$

Параметрические уравнения подеры в двумерном векторном пространстве

В векторном виде основное уравнение будет проще:

$\operatorname {pedal} [\mathbf {z} ,\;\mathbf {z} _{0}](t)=\mathbf {Z} (t)=\mathbf {z} (t)-\mathbf {z} '(t){\frac {(\mathbf {z} (t)-\mathbf {z} _{0})\mathbf {z} '(t)}{|\mathbf {z} '(t)|^{2}}},$

или в более сложном виде:

$\operatorname {pedal} [\mathbf {z} ,\;\mathbf {z} _{0}](t)=\mathbf {Z} (t)=\mathbf {z} _{0}+\mathbf {z} '_{\bot }(t){\frac {(\mathbf {z} (t)-\mathbf {z} _{0})\mathbf {z} '_{\bot }(t)}{|\mathbf {z} '(t)|^{2}}},$

где $\mathbf {z} '_{\bot }(t)=\pm (y'(t),\;-x'(t))$ — вектор нормали, перпендикулярный касательной.

Относительно полюса $\mathbf {z} _{0}=(0,\;i0)$:

$\operatorname {pedal} [\mathbf {z} ,\;\mathbf {z} _{0}](t)=\mathbf {Z} (t)=\mathbf {z} (t)-\mathbf {z} '(t){\frac {\mathbf {z} (t)\mathbf {z} '(t)}{|\mathbf {z} '(t)|^{2}}}.$

или в более сложном виде:

$\operatorname {pedal} [\mathbf {z} ,\;\mathbf {z} _{0}](t)=\mathbf {Z} (t)=\mathbf {z} '_{\bot }(t){\frac {\mathbf {z} (t)\mathbf {z} '_{\bot }(t)}{|\mathbf {z} '(t)|^{2}}}.$

Параметрические уравнения подеры на комплексной плоскости

В комплексных числах для параметрически заданной кривой $z(t)=(x(t),\;iy(t))$, имеющей производную $z'(t)=(x'(t),\;iy'(t))$, основное уравнение подеры

$\operatorname {pedal} [z,\;z_{0}](t)=Z(t)=(X(t),\;iY(t))$

относительно точки $z_{0}=(x_{0},\;iy_{0})$ будут ещё проще:

$\operatorname {pedal} [z,\;z_{0}](t)=Z(t)={\frac {(z(t)-z_{0}){\overline {z'(t)}}-{\overline {z(t)-z_{0}}}z'(t)}{2{\overline {z'(t)}}}}=$

${}={\frac {1}{2}}\left(z(t)-z_{0}-{\frac {{\overline {z(t)-z_{0}}}z'(t)}{\overline {z'(t)}}}\right).$

В частном случае, относительно полюса $\mathbf {z} _{0}=(0,\;i0)$, основное уравнение будет таким:

$\operatorname {pedal} [z,\;0](t)=Z(t)={\frac {z(t){\overline {z'(t)}}-{\overline {z(t)}}z'(t)}{2{\overline {z'(t)}}}}=$

${}={\frac {1}{2}}\left(z(t)-{\frac {{\overline {z(t)}}z'(t)}{\overline {z'(t)}}}\right).$

Доказательство

Красная точка подеры точки кривой относительно полюса в начале координат

Найдём основное уравнение подеры кривой относительно полюса в начале координат $O=(x_{0},\;iy_{0})$, показанном на рисунке справа вместе с вещественной осью $x$. Текущая точка кривой — $z$, подеры — $Z$.

Из треугольника $\triangle OzZ$ получаем модуль функции $Z$:

$|Z|=|z|\sin(\alpha -\varphi ).$

Так как радиус-вектор $Z$ составляет с вещественной осью $x$ угол $-\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)$, то аргумент комплексной функции $Z$ равен

$\operatorname {Arg} Z=e^{-i\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)}=\sin \alpha -i\cos \alpha =-ie^{i\alpha }.$

Тогда искомое уравнение

$Z=|Z|\operatorname {Arg} Z=-|z|\sin(\alpha -\varphi )ie^{i\alpha }=$

${}=-|z|{\frac {\operatorname {Arg} z}{\operatorname {Arg} z}}\sin(\alpha -\varphi )ie^{i\alpha }=-i|z|{\frac {e^{i\varphi }}{e^{i\varphi }}}\sin(\alpha -\varphi )e^{i\alpha }=$

${}=-iz\sin(\alpha -\varphi )e^{i(\alpha -\varphi )}.$

Заменим комплексную функцию синуса, используя формулу Эйлера:

$Z=-iz{\frac {e^{i(\alpha -\varphi )}-e^{-i(\alpha -\varphi )}}{2i}}e^{i(\alpha -\varphi )}=z{\frac {1-e^{i2(\alpha -\varphi )}}{2}}.$

Снова используем одну из показательных форм комплексного числа

$e^{i\alpha }={\sqrt {\frac {z'}{\overline {z'}}}}$ и $e^{i\varphi }={\sqrt {\frac {z}{\bar {z}}}},$

окончательно получим:

$Z=z{\frac {1-{\displaystyle {\frac {z'}{\overline {z'}}}{\frac {\bar {z}}{z}}}}{2}}={\frac {{\overline {z'}}z-z'{\bar {z}}}{2{\overline {z'}}}}.$

Параметрические уравнения подеры в вещественном пространстве

Для параметрически заданной пространственной кривой $(x(t),\;y(t),\;z(t))$, имеющей производную $(x'(t),\;y'(t),\;z'(t))$, подера $(X(t),\;Y(t),\;Z(t))$ относительно точки $(0,\;0,\;0)$ задаётся следующими уравнениями:

$X=x-x'{\frac {xx'+yy'+zz'}{x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}},$

$Y=y-y'{\frac {xx'+yy'+zz'}{x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}},$

$Z=z-z'{\frac {xx'+yy'+zz'}{x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}.$

Прямоугольная система координат

Для кривой с неявным уравнением $F(x,\;y)=0$, имеющей частные производные $F_{x}(x,\;y)$ и $F_{y}(x,\;y),$ подера $(X,\;Y)$ относительно точки $(a,\;b)$ задаётся следующими параметрическими уравнениями:

$X={\frac {xF_{x}^{2}+(y-b)F_{x}F_{y}+aF_{y}^{2}}{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}}=a+F_{x}{\frac {(x-a)F_{x}+(y-b)F_{y}}{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}},$

$Y={\frac {bF_{x}^{2}+(x-a)F_{x}F_{y}+yF_{y}^{2}}{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}}=b+F_{y}{\frac {(x-a)F_{x}+(y-b)F_{y}}{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}}.$

Для поверхности с неявным уравнением $F(x,\;y,\;z)=0$, имеющей частные производные $F_{x}(x,\;y,\;z)$, $F_{y}(x,\;y,\;z)$ и $F_{z}(x,\;y,\;z)$, подера $(X,\;Y,\;Z)$ относительно точки $(0,\;0,\;0)$ задаётся следующими параметрическими уравнениями:

$X=F_{x}{\frac {xF_{x}+yF_{y}+zF_{z}}{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}}},$

$Y=F_{y}{\frac {xF_{x}+yF_{y}+zF_{z}}{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}}},$

$Z=F_{z}{\frac {xF_{x}+yF_{y}+zF_{z}}{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}}}.$

Подерная система координат

Самое простое уравнение подеры получается в подерной системе координат. Для кривой, имеющей подерное уравнение

$r=\pi (p),$ или $f(r,\;p)=0,$

относительно некоторого полюса, подерное уравнение её подеры

$R^{2}=P\pi (R),$ или $f\left({\frac {R^{2}}{P}},\;R\right)=0,$

относительно того же полюса

Доказательство

В соответствии с утверждения о пропорциональности подерных координат, радиальное $r$ и перпендикулярное $p$ расстояния исходной кривой относительно некоторого полюса пропорциональны соответствующим расстояниям её подеры относительно того же полюса:

${\frac {R}{r}}={\frac {P}{p}},$ или $Rp=rP,R=p.$

Отсюда получаем:

$R^{2}=rP,$ $R^{2}=P\pi (p),$ $R^{2}=P\pi (R),$

или

$r=\pi (p),$ ${\frac {R^{2}}{P}}=\pi (R),$ $R^{2}=P\pi (R),$

или

$f(r,\;p)=0,$ $f\left({\frac {R^{2}}{P}},\;R\right)=0.$

Примеры подеры

Обзорная статья: Список кривых и их подер

Подера окружности

Основная статья: Окружность § Подера окружности

Подера окружности с полюсом в центре есть та же самая окружность. Подера окружности с полюсом вне центра есть улитка Паскаля, в частности, если полюс подеры лежит на самой окружности, то подера — кардиоида.

• Подеры окружности
• 
  Гиперболическая улитка Паскаля — полюс подеры вне окружности
• 
  Кардиоида — полюс подеры на окружности
• 
  Эллиптическая улитка Паскаля — полюс подеры внутри окружности, но не в её центре

Найдём уравнение подеры окружности. Уравнение окружности в комплексном параметрическом виде

$z=z_{0}+Re^{it},$

где $z_{0}$ — постоянный комплексный центр окружности; $R$ — постоянный вещественный радиус окружности; $t$ — вещественный параметр. Получаем:

$z'=Rie^{it},$

${\bar {z}}=z_{0}+Re^{-it},$

${\bar {z}}'=-Rie^{-it},$

и уравнение подеры окружности с полюсом $z_{1}$, то есть улитки Паскаля:

$Z(t)={\frac {-(z_{0}-z_{1}+Re^{it})iRe^{-it}-({\overline {z_{0}-z_{1}}}+Re^{-it})iRe^{it}}{-i2Re^{-it}}}=$

${}={\frac {1}{2}}(z_{0}-z_{1}+Re^{it}+({\overline {z_{0}-z_{1}}}+Re^{-it})e^{i2t})=$

${}={\frac {1}{2}}(z_{0}-z_{1}+2Re^{it}+{\overline {z_{0}-z_{1}}}e^{i2t})=$

${}={\frac {1}{2}}(Le^{i\varphi }+2Re^{it}+Le^{-i\varphi }e^{i2t}).$

Уравнение улитки Паскаля упростится, если прямая $z_{0}z_{1}$ параллельна вещественной оси комплексной плоскости, то есть $\varphi =0$ или $\varphi =\pi :$

$Z(t)={\frac {1}{2}}(\pm L+2Re^{it}\pm Le^{i2t}).$

Рассмотрим два частных случая подеры:

• если $z_{1}$ и $z_{0}$ совпадают, то есть $L=0,$ подера окружности есть сама окружность с центром в начале координат — полюсе подеры:

$Z(t)=Re^{it};$

• если $z_{1}$ лежит на окружности, то есть $L=R,$ имеем уравнение кардиоиды с центром в каспе — полюсе подеры:

$Z(t)={\frac {R}{2}}(e^{i\varphi }+2e^{it}+e^{-i\varphi }e^{i2t});$

• если при этом прямая $z_{0}z_{1}$ параллельна вещественной оси комплексной плоскости, то есть $\varphi =0$ или $\varphi =\pi ,$ то уравнение кардиоиды

$Z(t)={\frac {R}{2}}(\pm 1+2e^{it}\pm e^{i2t})=$

${}={\frac {\pm R}{2}}(1\pm e^{it})^{2};$

• а если при этом окружность имеет радиус $R=1$ и $z_{1}$ слева от $z_{0}$, то самое простое уравнение кардиоиды

${}={\frac {1}{2}}(1+e^{it})^{2}.$

Подера параболы

Основная статья: Парабола § Подера параболы

Косая конхоида Слюза — подера параболы

Любая парабола имеет подеру — циркулярную кривую 3-го порядка на комплексной проективной плоскости.

Не умаляя общности, уравнение произвольной параболы можно записать в следующем виде:

$y^{2}=4px,$ или $x^{2}=4py,$

где $p$ — расстояние от фокуса параболы до её вершины и от вершины до директрисы.

Тогда подера произвольной параболы $y^{2}=4px$ относительно произвольного полюса $(a,\;b)$ есть дефективная гипербола с двойной точкой $(a,\;b)$, асимптотой $a-p$ и следующим уравнением:

$(x-a)(y(y-b)+x(x-a))+p(y-b)^{2}=0.$

Подера эллипса

Подера эллипса

• относительно его фокуса — окружность,
• относительно центра эллипса — лемниската Бута.

• Подеры эллипса
• 
  Окружность ${\scriptstyle \left(x+{\frac {16}{3}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {32}{3}}\right)^{2}}$ — полюс подеры в фокусе эллипса ${\scriptstyle \left({\frac {3}{32}}\right)^{2}\left(x+{\frac {16}{3}}\right)^{2}+{\frac {3}{16^{2}}}y^{2}=1}$
• 
  Лемниската Бута — полюс подеры в центре эллипса. Здесь a=2 b=1, уравнение 4x²+y²=(x²+y²)²

См. также

• Подерный треугольник
• Подерная окружность

Источники

• Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей: Пер. с англ. И. Г. Щербак под ред. В. И. Арнольда. М.: Мир, 1988. 262 с, ил. (Современная математика. Вводные курсы) ISBN 5-03-001194-3. [J. William Bruce, Peter G. Giblin. Curves and Singularities. A geometrical introduction to singularity theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1984.]
• Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия: Пер. с нем. С. А. Каменецкого. 3-е изд. М.: Наука, 1981. 144 с., ил.
• Иванов А. Б. Подера // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 370.
• Коренцова М. М. Колин Маклорен. 1698—1746. М.: Наука, 1998. 144 с., ил. (Научно-биографическая литература.) ISBN 5-02-003691-9.
• Подера // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 465.
• Подера и антиподера // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1975. Т. 20. Плата — проб. 1975. 608 с. с илл., 17 л. илл., 4 л. карт. С. 109.
• Подерный (педальный) треугольник // Задачи. Проект МЦНМО при участии школы 57, 2004—…. Архивная копия от 2 октября 2023 на Wayback Machine
• Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство) / Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. 293 с., ил.
• Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил.
• Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник с приложенипем дискеты «Плоские кривые». М.: ФАЗИС, 1997. 334 с., ил. ISBN 5-7036-0027-8.
• Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 49—158.
• Article. III. Tractatus de Curvarum Constructione et Mensura…. 2024 // ROYAL SOCIETY PUBLISHING. Philosophical Transactions. Архивная копия от 25 октября 2019 на Wayback Machine
• Ferréol Robert. Pedal of a Curve // ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES Архивная копия от 10 апреля 2023 на Wayback Machine
• Alfred Gray. Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica. Third Edition by Elsa Abbena and Simon Salamon. Studies in Advanced Mathematics: Chapman and Hall/CRC, 2006. 982 p.
• Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.
• Maclaurin C. III. Tractatus de Curvarum Constructione et Mensura; ubi plurimae Series Curvarum Infinitae vel rectis mensurantur vel ad Simpliciores Curvas reducuntur. Autore Colin Maclaurin, in Collegio novo Abredonensi Matheseos Professore // Philosophical Transactions of the Royal Society. 30 June 1718. Volume 30, Issue 356. P. 803–812.
• Weisstein Eric W. Pedal Curve // Wolfram MathWorld Архивная копия от 5 декабря 2022 на Wayback Machine
• Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their ApplicationsThe Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 0486610780. ISBN 9780486610788.