Поверхность второго порядка

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0$

в котором по крайней мере один из коэффициентов $A$, $B$, $C$,$D$ $E$, $F$, отличен от нуля. Является частным случаем квадрики.

Поверхности второго порядка, получающиеся при различных значениях параметров уравнения

Типы поверхностей второго порядка

Цилиндрические поверхности

Поверхность $S$ называется цилиндрической поверхностью с образующей ${\vec {l}}$, если для любой точки $M_{0}$ этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей ${\vec {l}}$, целиком принадлежит поверхности $S$.

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность $S$ имеет уравнение $f(x,y)=0$, то $S$ — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси $OZ$.

Кривая, задаваемая уравнением $f(x,y)=0$ в плоскости $z=0$, называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр:	Параболический цилиндр:	Гиперболический цилиндр:
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$y^{2}=2px$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\!=1$
Пара совпавших прямых:	Пара совпавших плоскостей:	Пара пересекающихся плоскостей:
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0$	$y^{2}=0$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\!=0$

Конические поверхности

Коническая поверхность.

Основная статья: Коническая поверхность

Поверхность $S$ называется конической поверхностью с вершиной в точке $O$, если для любой точки $M_{0}$ этой поверхности прямая, проходящая через $M_{0}$ и $O$, целиком принадлежит этой поверхности.

Функция $F(x,y,z)$ называется однородной порядка $m$, если $\forall t\in \mathbb {R} \;\forall x,y,z$ выполняется следующее: $F(tx,ty,tz)=t^{m}F(x,y,z)$

Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность $S$ задана уравнением $F(x,y,z)=0$, где $F(x,y,z)$ — однородная функция, то $S$ — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность $S$ задана функцией $F(x,y,z)$, являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то $S$ называется конической поверхностью второго порядка.

• Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0$

Поверхности вращения

Поверхность $S$ называется поверхностью вращения вокруг оси $OZ$, если для любой точки $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости $z=z_{0}$ с центром в $(0,0,z_{0})$ и радиусом $r={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}$, целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность $S$ задана уравнением $F(x^{2}+y^{2},z)=0$, то $S$ — поверхность вращения вокруг оси $OZ$.

Эллипсоид:	Однополостной гиперболоид:	Двуполостной гиперболоид:	Эллиптический параболоид:	Гиперболический параболоид:
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z$

В случае, если $a=b\neq 0$, перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.

Эллиптический параболоид

Уравнение эллиптического параболоида имеет вид

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z.$

Если $a=b$, то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы, параметр которой $p=a^{2}=b^{2}$, вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину и фокус данной параболы.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью $z=z_{0}>0$ является эллипсом.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью $x=x_{0}$ или $y=y_{0}$ является параболой.

Гиперболический параболоид

Уравнение гиперболического параболоида имеет вид

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z.$

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью $z=z_{0}$ является гиперболой.

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью $x=x_{0}$ или $y=y_{0}$ является параболой.

Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

Центральные поверхности

Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты $\left(x_{0},\;y_{0}\;z_{0}\right)$ можно найти, решив систему уравнений:

${\begin{cases}a_{11}x_{0}+a_{12}y_{0}+a_{13}z_{0}+a_{14}=0\\a_{21}x_{0}+a_{22}y_{0}+a_{23}z_{0}+a_{24}=0\\a_{31}x_{0}+a_{32}y_{0}+a_{33}z_{0}+a_{34}=0\end{cases}}$

Матричный вид уравнения поверхности второго порядка

Уравнение поверхности второго порядка может быть переписано в матричном виде:

${\begin{pmatrix}x&y&z&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}=0$

Также можно выделить квадратичную и линейную части друг от друга:

${\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}a_{14}&a_{24}&a_{34}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+a_{44}=0$

Если обозначить $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}\quad b={\begin{pmatrix}a_{14}&a_{24}&a_{34}\end{pmatrix}}\quad X={\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}^{T}$ , то уравнение приобретает следующий вид:

$X^{T}AX+2bX+a_{44}=0$

Инварианты

Значения следующих величин сохраняются при ортогональных преобразованиях базиса:

• Связанных с матрицей $A$:
  • $I_{1}=\mathrm {tr} \,A$
  • $I_{2}={M_{A}}_{1,2}^{1,2}+{M_{A}}_{1,3}^{1,3}+{M_{A}}_{2,3}^{2,3}$, где ${M_{A}}_{i,j}^{i,j}$ — минор второго порядка матрицы A, расположенный в строках и столбцах с индексами i и j.
  • $I_{3}=\det A$

• Связанных с блочной (расширенной) матрицей $B={\begin{pmatrix}A&b\\b^{T}&a_{44}\end{pmatrix}}$
  • $K_{1}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=i+1}^{4}{M_{B}}_{i,j}^{i,j}$
  • $K_{2}=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=i+1}^{3}\sum _{k=j+1}^{4}{M_{B}}_{i,j,k}^{i,j,k}$
  • $K_{4}=\det B$

Такие инварианты также иногда называют полуинвариантами или семи-инвариантами.

При параллельном переносе системы координат величины $I_{1},I_{2},I_{3},K_{4}$ остаются неизменными. При этом:

• $K_{2}$ остается неизменной только если $I_{2}=I_{3}=K_{4}=0$
• $K_{1}$ остается неизменной только если $I_{2}=I_{3}=K_{4}=K_{2}=0$

Классификация поверхностей второго порядка относительно значений инвариантов

Для любой алгебраической поверхности второго порядка существует такая декартова система координат, в которой уравнение этой поверхности принимает один из следующих семнадцати канонических видов:

Поверхность	Уравнение	Инварианты
Эллипсоид	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$	$I_{3}\neq 0$	$I_{2}>0,\quad I_{1}I_{3}>0$	$K_{4}<0$
Мнимый эллипсоид	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1$			$K_{4}>0$
Точка	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+z^{2}=0$			$K_{4}=0$
Однополостный гиперболоид	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$		$I_{2}\leq 0$ или $I_{1}I_{3}\leq 0$	$K_{4}>0$
Двуполостный гиперболоид	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1$			$K_{4}<0$
Конус	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z^{2}=0$			$K_{4}=0$
Эллиптический параболоид	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z=0$	$I_{3}=0$	$K_{4}\neq 0$	$K_{4}<0$
Гиперболический параболоид	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z=0$			$K_{4}>0$
Эллиптический цилиндр	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$		$K_{4}=0$	$I_{2}>0$	$I_{1}K_{2}<0$
Мнимый эллиптический цилиндр	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$				$I_{1}K_{2}>0$
Прямая (пара мнимых пересекающихся плоскостей)	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+y^{2}=0$				$K_{2}=0$
Гиперболический цилиндр	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$			$I_{2}<0$	$K_{2}\neq 0$
Пара пересекающихся плоскостей	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-y^{2}=0$				$K_{2}=0$
Параболический цилиндр	$y^{2}=2px$			$I_{2}=0$	$K_{2}\neq 0$
Пара параллельных плоскостей	$x^{2}-d^{2}=0$				$K_{2}=0$	$K_{1}<0$
Пара мнимых параллельных плоскостей	$x^{2}+d^{2}=0$					$K_{1}>0$
Плоскость	$x^{2}=0$					$K_{1}=0$

Литература

• В. А. Ильин, Г. Д. Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. — М.: Проспект, 2012. — 400 с.
• В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
• П. С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1979. — 511 с.
• Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. 5, § 46-54. М., 1883.

См. также

• Квадрика
• Поверхность вращения
• Сфера
• Цилиндрическая поверхность
• Гиперболоид
• Параболоид
• Эллипсоид
• Поверхность Дарбу