Пентагональный гексеконтаэдр

Пентагона́льный гексеконта́эдр (от др.-греч. πέντε — «пять», γωνία — «угол», ἑξήκοντα — «шестьдесят» и ἕδρα — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный курносому додекаэдру. Составлен из 60 одинаковых неправильных пятиугольников.

Пентагональный гексеконтаэдр
«Правый» вариант (вращающаяся модель, 3D-модель)
«Левый» вариант (вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	каталаново тело
Свойства	выпуклый, изоэдральный, хиральный
Комбинаторика
Элементы	60 граней 150 рёбер 92 вершины Χ = 2
Грани	неправильные пятиугольники:
Конфигурация вершины	20+60(53) 12(55)
Конфигурация грани	V3.3.3.3.5
Двойственный многогранник	курносый додекаэдр
Развёртка Развёртка для «левого» варианта
Классификация
Обозначения	gD
Группа симметрии	I (хиральная икосаэдрическая)
Медиафайлы на Викискладе

Имеет 92 вершины. В 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра) сходятся по 5 граней своими острыми углами; в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра) сходятся по 3 грани теми тупыми углами, которые дальше от острого; в остальных 60 вершинах две грани сходятся своими тупыми углами, ближними к острому, и одна — тупым углом, дальним от острого.

• 
  12 вершин расположены так же, как вершины икосаэдра
• 
  20 вершин расположены так же, как вершины додекаэдра

У пентагонального гексеконтаэдра 150 рёбер — 60 «длинных» и 90 «коротких».

В отличие от большинства других каталановых тел, пентагональный гексеконтаэдр (наряду с пентагональным икоситетраэдром) является хиральным и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «правом» и «левом».

Метрические характеристики и углы

При определении метрических свойств пентагонального гексеконтаэдра приходится решать кубические уравнения и пользоваться кубическими корнями — тогда как для ахиральных каталановых тел не требуется ничего сложнее квадратных уравнений и квадратных корней. Поэтому пентагональный гексеконтаэдр, в отличие от большинства других каталановых тел, не допускает евклидова построения. То же верно и для пентагонального икоситетраэдра, а также для двойственных им архимедовых тел.

В формулах ниже константа $\xi$ — единственный вещественный корень уравнения

$8x^{3}+8x^{2}=\Phi ^{2},$

где $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ — отношение золотого сечения; этот корень равен

$\xi ={\frac {1}{12}}\left({\sqrt[{3}]{44+12\Phi \,(9+{\sqrt {81\Phi -15}})}}+{\sqrt[{3}]{44+12\Phi \,(9-{\sqrt {81\Phi -15}})}}-4\right)\approx 0{,}4715756.$

Грань пентагонального гексеконтаэдра

Если три «коротких» стороны грани имеют длину $b$, то две «длинных» стороны имеют длину

$a={\frac {1+2\xi }{2(1-2\xi ^{2})}}b\approx 1{,}7498526b.$

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

$S={\frac {30(2+3\xi ){\sqrt {1-\xi ^{2}}}}{1-2\xi ^{2}}}\;b^{2}\approx 162{,}6989642b^{2},$

$V={\frac {5(1+\xi )(2+3\xi )}{(1-2\xi ^{2}){\sqrt {1-2\xi }}}}\;b^{3}\approx 189{,}7898521b^{3}.$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

$r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1+\xi }{(1-\xi )(1-2\xi )}}}\;b\approx 3{,}4995278b,$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

$\rho ={\sqrt {\frac {1+\xi }{2(1-2\xi )}}}\;b\approx 3{,}5976248b,$

радиус окружности, вписанной в грань —

$r_{\Gamma \mathrm {P} }={\sqrt {\rho ^{2}-r^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1+\xi }{1-\xi }}}\;b\approx 0{,}8343915b,$

диагональ грани, параллельная одной из «коротких» сторон —

$e=(1+2\xi )b\approx 1{,}9431513b.$

Описать около пентагонального гексеконтаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Все четыре тупых угла грани равны $\arccos \,(-\xi )\approx 118{,}14^{\circ };$ острый угол грани (между «длинными» сторонами) равен $\arccos \,(8\xi ^{2}-8\xi ^{4}-1)\approx 67{,}45^{\circ }.$

Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos \,{\frac {\xi }{\xi -1}}\approx 153{,}18^{\circ }.$

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Пентагональный гексеконтаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.