Ортогональная система координат

Ортогональными называются криволинейные координаты, в которых метрический тензор имеет диагональный вид.

$ds^{2}=\sum _{k=1}^{n}\left(h_{k}dq^{k}\right)^{2}$,

где $n$ - размерность пространства. Скалярный фактор

$h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\mathbf {e} _{k}|$

равен корню квадратному от диагональных компонент метрического тензора, или длине локального базисного вектора $\mathbf {e} _{k}$.

В ортогональных системах координат $\mathbf {q} =(q^{1},q^{1},\ldots ,q^{n})$ координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат ортогональны друг другу координатные оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$.

Выбор той или иной системы ортогональных координат определяется симметрией системы. Например, при решении задачи о распространении электромагнитной волны от точечного источника выгодно пользоваться сферической системой координат; при решении задачи о колебании мембраны предпочтительней цилиндрическая система координат.

Математические преобразования

Базисные векторы

В ортогональных системах скалярное произведение базисных векторов равно:

$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\left\{{\begin{matrix}0,&i\neq j{;}\\\vert \mathbf {e} _{i}\vert ^{2},&i=j{.}\end{matrix}}\right.$

В большинстве случаев используют нормированные базисные векторы, для которых $\mathbf {e} _{i}^{\left(n\right)}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{\left|\mathbf {e} _{i}\right|}}$.

Для нормированных базисных векторов $\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}$, где $\delta _{ij}$ — символ Кронекера.

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов в ортогональных системах вычисляется по формуле:

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{k=1}^{n}h_{k}^{2}x^{k}y^{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {x_{k}y_{k}}{h_{k}^{2}}}=\sum _{k=1}^{n}x^{k}y_{k}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y^{k}$.