Оператор Шрёдингера

Оператор Шрёдингера — дифференциальный оператор вида:

$H=-\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2m_{j}}}\Delta _{j}+\sum _{i<j}^{n}v_{ij}(x_{i}-x_{j})+\sum _{j=1}^{n}v_{j}(x_{i})$.

Представляет собой оператор эллиптической сингулярной краевой задачи. Математическая теория операторов Шрёдингера используется в квантовой механике, дифференциальной геометрии (доказательство теоремы Гаусса — Бонне), топологии (в теории Морса при доказательстве неравенства Морса). Допускает многочисленные обобщения. При некоторых условиях на потенциалы $v_{ij}(x)$ и $v_{j}(x)$ является самосопряжённым оператором со всюду плотной областью определения в пространстве квадратично интегрируемых функций $\psi (x_{1},\dots ,x_{n}))$. Это свойство равносильно однозначной разрешимости нестационарного уравнения Шрёдингера. Оно очень важно для оснований квантовой механики, поскольку лишь самосопряжённые операторы описывают квантовомеханические наблюдаемые. В квантовой механике оператор Шрёдингера представляет собой оператор энергии системы $n$ заряженных частиц в координатном представлении. При приближённом описании поведения частицы во внешнем поле или системы двух взаимодействующих частиц оператор Шредингера определён в пространстве квадратично интегрируемых функций и имеет вид: $H=-\Delta +v(x)$, где $x$ — вектор трёхмерного пространства.

Одномерный оператор Шрёдингера

Одномерный оператор Шрёдингера имеет вид:

$H_{1}=-{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+v(z)$,

где $z$ — вектор одномерного пространства. В случае бесконечно растущего потенциала $v(z)\rightarrow \infty$ при $\left|z\right|\rightarrow \infty$ его спектр является дискретным, однократным. В случае гармонического осциллятора — $v(z)=z^{2}$. Собственные значения $\lambda _{n}=2n+1$ и собственные функции $\psi _{n}(z)=e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}H_{n}(z)$, где $n=0,1,2,\dots$, $H_{n}(z)$ — полиномы Эрмита.

Достаточный признак самосопряжённости оператора Шрёдингера

Для оператора Шрёдингера для системы $n$ частиц, определённого на гладких финитных функциях:

$H=-\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2m_{j}}}\Delta _{j}+\sum _{i<j}^{n}v_{ij}(x_{i}-x_{j})+\sum _{j=1}^{n}v_{j}(x_{i})$,

достаточными условиями существенной самосопряжённости являются условия:

$\int _{\left|x\right|\leqslant R}v_{ij}^{2}(x)<\infty$,

$\int _{\left|x\right|\leqslant R}v_{j}^{2}(x)<\infty$,

и при $\left|x\right|\geqslant R$ условия:

$\left|v_{ij}(x)\right|\leqslant M$,

$\left|v_{j}(x)\right|\leqslant M$.

Область определения замыкания оператора Шрёдингера в этом случае совпадает с областью определения замыкания оператора $-\sum _{j=1}^{n}\Delta _{j}$.

Литература

• Крейн С. Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972. — 544 с.
• Цикон Х., Фрёзе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. — М.: Мир, 1990. — 408 с. — ISBN 5-03-001422-5.