Граница Варшамова — Гилберта

Граница Варша́мова — Ги́лберта — неравенство, определяющее предельные значения для параметров кодов (не обязательно линейных), полученное независимо Эдгаром Гилбертом^[англ.] и Ромом Варшамовым. Иногда употребляется название неравенство Гилберта — Шеннона — Варшамова, а в иноязычной научной литературе — неравенство Гилберта — Варшамова.

Формулировка

Пусть

A_{q}(n,\;d)

обозначает максимально возможную мощность $q$ -чного кода $C$ длины $n$ и расстояния Хэмминга $d$ ( $q$ -чным кодом является код с символами из поля $\mathbb {F} _{q}$ , состоящего из $q$ элементов).

Тогда

A_{q}(n,\;d)\geqslant {\frac {q^{n}}{\displaystyle \sum \limits _{j=0}^{d-1}\displaystyle {\binom {n}{j}}(q-1)^{j}}}.

Когда $q$ является степенью простого числа, можно упростить неравенство до $A_{q}(n,\;d)\geqslant q^{k}$ , где $k$ — наибольшее целое число, для которого $\displaystyle A_{q}(n,\;d)\geqslant \displaystyle {\frac {q^{n}}{\displaystyle \sum \limits _{j=0}^{d-2}\displaystyle {\binom {n-1}{j}}(q-1)^{j}}}$ .

Доказательство

Пусть $C$ — код максимальной мощности при длине $n$ и расстоянии Хэмминга $d$ :

|C|=A_{q}(n,\;d).

Тогда для любого $x\in \mathbb {F} _{q}^{n}$ существует по крайней мере одно кодовое слово $c_{x}\in C$ , так что расстояние Хэмминга $d(x,\;c_{x})$ между $x$ и $c_{x}$ удовлетворяет

d(x,\;c_{x})\leqslant d-1,

потому как в противном случае мы могли бы расширить код с помощью слова $x$ , оставив расстояние Хэмминга $d$ неизменным, что противоречит предположению относительно максимальной мощности $|C|$ .

Поэтому поле $\mathbb {F} _{q}^{n}$ можно упаковать объединением множеств всех сфер радиуса $d-1$ с центром в $c\in C$ :

\mathbb {F} _{q}^{n}=\bigcup _{c\in C}B(c,\;d-1).

Объём каждого шара

\sum _{j=0}^{d-1}{\binom {n}{j}}(q-1)^{j},

потому что мы можем позволить (или выбрать) не более чем $(d-1)$ -му из $n$ компонентов кодового слова принять одно из $(q-1)$ других возможных значений. Поэтому верно следующее неравенство

|\mathbb {F} _{q}^{n}|=\left|\bigcup _{c\in C}B(c,\;d-1)\right|\leqslant \sum _{c\in C}|B(c,\;d-1)|=|C|\sum _{j=0}^{d-1}{\binom {n}{j}}(q-1)^{j}.

То есть

A_{q}(n,\;d)\geqslant {\frac {q^{n}}{\sum \limits _{j=0}^{d-1}\displaystyle {\binom {n}{j}}(q-1)^{j}}}

(подставив $|\mathbb {F} _{q}^{n}|=q^{n}$ ).

Литература

Gilbert E. N. A comparison of signalling alphabets // Bell System Technical Journal, 31:504-522 [1], 1952.
Варшамов Р. Р. Оценка числа сигналов в кодах с коррекцией ошибок // Доклады Академии наук СССР, 117(5):739-741 [1], 1957.

См. также