Область значений функции

Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция.

Определение

Пусть на множестве $X$ задана функция $f$, которая отображает множество $X$ в $Y$, то есть: $f:X\to Y$. Тогда областью (или множеством) значений функции $f$ называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества $Y$ и обозначается $f(X)$, $E(f)$, $R(f)$ или $\mathrm {ran} \,f$ (от англ. range):

$f(X)=\{y\in Y|\,y=f(x),\,x\in X\}$.

Способы нахождения областей значений некоторых функций

• последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
• метод оценок;
• использование свойств непрерывности и монотонности функции;
• использование производной;
• использование наибольшего и наименьшего значений функции;
• графический метод;
• метод введения параметра;
• метод обратной функции.

Терминология

В некоторых источниках различаются понятия области значений и множества значений функции. При этом областью значений функции называется её кодомен, то есть множество $Y$ в обозначении функции $f:X\to Y$, а множеством значений функции называется совокупность всех значений $f(X)$ функции $f$.

Множество значений $f(X)$ называется также образом множества $X$ при отображении $f$.

Иногда множество значений функции называют областью изменения функции.

См. также

• Область определения функции

Литература

• Функция. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
• Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
• И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13 — 21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
• Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19 — 27. — 423 с.
• В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23 — 36. — 544 с.
• А. Н. Колмогоров. Что такое функция // «Квант» : науч.-поп. физ.-мат. журн. — М.: «Наука», 1970. — № 1. — С. 27-36. — ISSN 0130-2221.