Многочлен Эрара

Многочленом Эрара для заданного многогранника в многомерном пространстве называется многочлен, значение которого в любой целой точке $t>0$ совпадает с количеством целых точек пространства (вообще говоря, точек любой решётки), находящихся внутри данного многогранника, увеличенного в $t$ раз.

Объём самого многогранника (с коэффициентом гомотетии $k=1$ ) равен старшему коэффициенту многочлена Эрара, что можно рассматривать как вариант многомерного обобщения теоремы Пика.

Названы в честь Эжена Эрара^[англ.], который изучал их в 1960-х годах.

Определение

Пусть $P$ — многогранник с целыми вершинами, и $t\cdot P$ — его гомотетия с целым коэффициентом $t$ . Обозначим через $L_{P}(t)$ число целых точек в $t\cdot P$ . Можно доказать, что число $L_{P}(t)$ выражается как многочлен от $t$ ; этот многочлен и называется многочленом Эрара.

Примеры

$L_{Q}(t)=(t+1)^{d}$ для единичного целого $d$ -мерного куба $Q$ .

Свойства

(Взаимность Эрара — Макдональда) Число внутренних целых точек в $t\cdot P$ равно
$(-1)^{d}\cdot L_{P}(-t),$

где d — размерность P.

Любая валюация на целых многогранниках, инвариантная относительно целых сдвигов и $\mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )$ , выражается как линейная комбинация коэффициентов многочлена Эрара.^[1]

Для любого $d$ -мерного многогранника $P$ , три коэффициента многочлена Эрара имеют простую интерпретацию
- свободный член многочлена Эрара равен 1.
- Главный коэффициент при $t^{d}$ равен объёму многогранника.
- Коэффициент при $t^{d-1}$ равен половине суммы отношений площадей граней к определителю решётки, получаемой пересечением целочисленных точек с продолжением грани.
В частности, при $d=2$ многочлен Эрара многоугольника равен
$S\cdot t^{2}+{\tfrac {\Gamma }{2}}\cdot t+1,$