Минор (линейная алгебра)

Минор в линейной алгебре — определитель некоторой меньшей квадратной матрицы $B$, вырезанной из заданной матрицы $A$ путём удаления одной или нескольких её строк и столбцов, в случае квадратной матрицы возможно рассматривать её определитель как минор. Порядок матрицы $B$ называется порядком этого минора. Если на диагонали матрицы $B$ расположены только диагональные элементы матрицы $A$, то минор называется главным.

Дополнительный минор элемента матрицы $n$-го порядка есть определитель порядка $n-1$, соответствующий матрице, которая получается из матрицы путём вычёркивания $i$-й строки и $j$-го столбца. Например, для матрицы:

$M={\begin{pmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{pmatrix}}$

дополнительный минор второго порядка ${\bar {M}}_{3}^{2}$ получается путём вычёркивания второй строки и третьего столбца:

${\begin{vmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{vmatrix}}$ $\longrightarrow$ ${\begin{vmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{vmatrix}}=1\cdot 9-4\cdot (-1)=13$

Определитель $n\times n$-матрицы $M=(a_{ij})$ может быть определён через дополнительные миноры к элементам:

$|M|=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}$,

где ${\bar {M}}_{j}^{1}$ — дополнительный минор к элементу $\ a_{1j}$.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Литература

• Минор — статья из Математической энциклопедии. В. Н. Ремесленников