Определитель Вандермонда

(перенаправлено с «Матрица Вандермонда»)

Определитель Вандермонда — выражение вида

где  — элементы некоторого поля. Матрицей Вандермонда называется либо матрица [1][2], либо её транспонированная версия [3][4][5][6]. Матрица и её определитель названы в честь французского математика А. Т. Вандермонда[7].

Определитель Вандермонда равен нулю тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна пара такая, что [8].

Доказательство

править

Свойства

править

Матрица Вандермонда представляет собой частный случай альтернативной матрицы, в которой  .

Если   — первообразный корень  -й степени из единицы и   — матрица Вандермонда с элементами  , то обратная матрица   с точностью до диагональной матрицы имеет вид  :  .

Применение

править

Определитель Вандермонда имеет многочисленные применения в разных областях математики. Например, при решении задачи интерполяции многочленами, то есть задачи о нахождении многочлена степени  , график которого проходит через   заданных точек плоскости с абсциссами  , определитель Вандермонда возникает как определитель системы линейных уравнений, из которой находятся неизвестные коэффициенты искомого многочлена[2].

Быстрое умножение вектора на матрицу Вандермонда

править

Быстрое умножение вектора   на матрицу Вандермонда эквивалентно нахождению   значений   многочлена   и может быть вычислено за   операций, где   — затраты на умножения двух полиномов[10]. Метод быстрого нахождения   значений многочлена основывается на том факте, что  . С использованием алгоритма быстрого умножения многочленов, такого как метод умножения Шёнхаге — Штрассена, и с применением парадигмы «разделяй и властвуй» за   умножений многочленов (и операций по модулю многочленов) строится дерево, листьями которого будут многочлены (значения)  , а корнем дерева будет многочлен  [11].

Примечания

править
  1. Horn R. A., Johnson C. R.. Matrix analysis. — 2nd ed. — Cambridge University Press, 2013. — P. 37. — ISBN 978-0-521-83940-2.
  2. 1 2 Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009. — С. 55—56. — 512 с. — ISBN 978-5-9221-1139-3.
  3. Тыртышников Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра. — М.: Физматлит, 2007. — С. 119. — 480 с. — ISBN 978-5-9221-0778-5.
  4. Stoll R. R.. Linear algebra and matrix theory. — New York: Dover Publications, 1969. — P. 102.
  5. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — 19-е изд., стер.. — СПб.: Лань, 2013. — С. 50. — 432 с. — ISBN 978-5-8114-0521-3.
  6. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер.. — М.: Физматлит, 2005. — С. 34—35. — 280 с. — ISBN 5-9221-0481-0.
  7. Alexandre-Théophile Vandermonde. Архивировано из оригинала 5 января 2013 года.
  8. Bernstein D. S.. Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (англ.). — 2nd ed.. — Princeton University Press, 2009. — P. 354. — ISBN 978-0-691-13287-7.
  9. Ian Stewart Galois Theory, Third Edition, стр. 28, — Chapman & Hall/CRC Mathematics.
  10. Efficient computation with structured matrices and arithmetic expressions. Дата обращения: 24 января 2017. Архивировано 2 февраля 2017 года.
  11. Polynomial Algorithms. Дата обращения: 24 января 2017. Архивировано 10 января 2017 года.