Экстремум

Экстре́мум (лат. extremum — крайнее) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Функция (синяя) и её производная (красная). Глобальный максимум функции обозначен символом $\star$, её глобальный минимум — ☐, локальный максимум — ◇, локальный минимум — +, нуль производной без экстремума — ╳. Видно, что остальные нули производной соответствуют точкам экстремума функции.

Задачи нахождения экстремума возникают во всех областях человеческого знания: теория автоматического управления, проблемы экономики, биология, физика и т. д.

Определения

Пусть дана функция $f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$ и $x_{0}\in M^{0}$ — внутренняя точка области определения $f.$ Тогда

• $x_{0}$ называется точкой локального максимума функции $f,$ если существует проколотая окрестность ${\dot {U}}(x_{0})$ такая, что

  $\forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\leqslant f(x_{0});$

• $x_{0}$ называется точкой локального минимума функции $f,$ если существует проколотая окрестность ${\dot {U}}(x_{0})$ такая, что

  $\forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).$

• $x_{0}$ называется точкой глобального (абсолютного) максимума, если

  $\forall x\in M\quad f(x)\leqslant f(x_{0});$

• $x_{0}$ называется точкой глобального (абсолютного) минимума, если

  $\forall x\in M\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).$

Если неравенства выше строгие, то $x_{0}$ называется точкой строгого локального или глобального максимума или минимума соответственно.

Значение функции $f(x_{0})$ называют соответственно (строгим) локальным или глобальным максимумом или минимумом. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание

Функция $f,$ определённая на множестве $M,$ может не иметь на нём ни одного локального или глобального экстремума. Например, $f(x)=x,\;x\in (-1,1).$

Функция, тождественно равная константе в любой точке, не имеет экстремумов.

Необходимые условия существования локальных экстремумов

• Из леммы Ферма вытекает следующее:

Пусть точка $x_{0}$ является точкой экстремума функции $f$, определенной в некоторой окрестности точки $x_{0}$.

Тогда либо производная $f'(x_{0})$ не существует, либо $f'(x_{0})=0$.

Эти условия не являются достаточными, так, функция может иметь нуль производной в точке, но эта точка может не быть точкой экстремума, а являться, скажем, точкой перегиба, как точка (0,0) у функции $f(x)=x^{3}$.

Достаточные условия существования локальных экстремумов

• Пусть функция $f\in C(x_{0})$ непрерывна в $x_{0}\in M^{0},$ и существуют конечные или бесконечные односторонние производные $f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})$. Тогда при условии

$f'_{+}(x_{0})<0,\;f'_{-}(x_{0})>0$

$x_{0}$ является точкой строгого локального максимума. А если

$f'_{+}(x_{0})>0,\;f'_{-}(x_{0})<0,$

то $x_{0}$ является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не обязательно дифференцируема в точке $x_{0}$.

• Пусть функция $f$ непрерывна и дважды дифференцируема в точке $x_{0}$. Тогда при условии

$f'(x_{0})=0$ и $f''(x_{0})<0$

$x_{0}$ является точкой локального максимума. А если

$f'(x_{0})=0$ и $f''(x_{0})>0$

то $x_{0}$ является точкой локального минимума.

• Пусть функция $f$ дифференцируема $n$ раз в точке $x_{0}$ и $f'(x_{0})=f''(x_{0})=\dots =f^{(n-1)}(x_{0})=0$, а $f^{(n)}(x_{0})\neq 0$.

Если $n$ чётно и $f^{(n)}(x_{0})<0$, то $x_{0}$ — точка локального максимума. Если $n$ чётно и $f^{(n)}(x_{0})>0$, то $x_{0}$ — точка локального минимума. Если $n$ нечётно, то экстремума нет.

См. также

• Критическая точка (математика)
• Методы оптимизации
• Условный экстремум

Литература

• Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. — М.: Наука, 1969. — 150 с.