Кванти́ли распределе́ния Стью́дента (коэффициенты Стьюдента) — числовые характеристики, широко используемые в задачах математической статистики, таких как построение доверительных интервалов и проверка статистических гипотез.
Определение
правитьПусть — функция распределения Стьюдента с степенями свободы, и . Тогда -квантилью этого распределения называется число такое, что
- .
Замечания
править- Прямо из определения следует, что случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с степенями свободы, превышает значение с вероятностью и не превышает его с вероятностью .
- Функция строго возрастает для любого . Следовательно, определена её обратная функция , и
- .
- Функция не имеет простого представления. Однако, возможно вычислить её значения численно.
- Распределение симметрично. Следовательно,
- .
Таблица квантилей
правитьНижеприведённая таблица получена с помощью функции tinv Архивная копия от 5 апреля 2010 на Wayback Machine пакета MATLAB. Чтобы получить значение , необходимо найти строку, соответствующую нужному , числу степеней свободы, рассчитываемому по формуле , и колонку, соответствующую нужному . Искомое число находится в таблице на их пересечении. Если необходимо использовать , не приведённое в таблице, то значения можно получить в табличных редакторах (в Excel функия СТЬЮДРАСПОБР; в LibreOffice — TINV). Кроме того, не следует путать запись и . Во второй записи, которая очень часто приводится в качестве ответа, речь идёт о величине «p=1- ».
one-tailed test (односторонний) | 1-0,9/2 (55 %) | 1-0,8/2 (60 %) | 1-0,7/2 (65 %) | 1-0,6/2 (70 %) | 1-0,5/2 (75 %) | 1-0,4/2 (80 %) | 1-0,3/2 (85 %) | 1-0,2/2 (90 %) | 1-0,1/2 (95 %) | 1-0,05/2 (97,5 %) | 1-0,02/2 (99 %) | 1-0,01/2 (99,5 %) | 1-0,005/2 (99,75 %) | 1-0,002/2 (99,9 %) | 1-0,001/2 (99,95 %) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
two-tailed test (двухсторонний) | 1-0,9 ( =0,9, P=0,1 (10 %) | 1-0,8 ( =0,8, P=0,2 (20 %) | 1-0,7 ( =0,7, P=0,3 (30 %) | 1-0,6 ( =0,6, P=0,4 (40 %) | 1-0,5 ( =0,5, P=0,5 (50 %) | 1-0,4 ( =0,4, P=0,6 (60 %) | 1-0,3 ( =0,3, P=0,7 (70 %) | 1-0,2 ( =0,2, P=0,8 (80 %) | 1-0,1 ( =0,1, P=0,9 (90 %) | 1-0,05 ( =0,05, P=0,95 (95 %) | 1-0,02 ( =0,02, P=0,98 (98 %) | 1-0,01 ( =0,01, P=0,99 (99 %) | 1-0,005 ( =0,005, P=0,995 (99,5 %) | 1-0,002 ( =0,002, P=0,998 (99,8 %) | 1-0,001 ( =0,001, P=0,999 (99,9 %) |
1 | 0,1584 | 0,3249 | 0,5095 | 0,7265 | 1,0000 | 1,3764 | 1,9626 | 3,0777 | 6,3138 | 12,7062 | 31,8205 | 63,657 | 127,32 | 318,31 | 636,62 |
2 | 0,1421 | 0,2887 | 0,4447 | 0,6172 | 0,8165 | 1,0607 | 1,3862 | 1,8856 | 2,9200 | 4,3027 | 6,9646 | 9,9248 | 14,089 | 22,327 | 31,599 |
3 | 0,1366 | 0,2767 | 0,4242 | 0,5844 | 0,7649 | 0,9785 | 1,2498 | 1,6377 | 2,3534 | 3,1824 | 4,5407 | 5,8409 | 7,4533 | 10,215 | 12,924 |
4 | 0,1338 | 0,2707 | 0,4142 | 0,5686 | 0,7407 | 0,9410 | 1,1896 | 1,5332 | 2,1318 | 2,7764 | 3,7469 | 4,6041 | 5,5976 | 7,1732 | 8,6103 |
5 | 0,1322 | 0,2672 | 0,4082 | 0,5594 | 0,7267 | 0,9195 | 1,1558 | 1,4759 | 2,0150 | 2,5706 | 3,3649 | 4,0321 | 4,7733 | 5,8934 | 6,8688 |
6 | 0,1311 | 0,2648 | 0,4043 | 0,5534 | 0,7176 | 0,9057 | 1,1342 | 1,4398 | 1,9432 | 2,4469 | 3,1427 | 3,7074 | 4,3168 | 5,2076 | 5,9588 |
7 | 0,1303 | 0,2632 | 0,4015 | 0,5491 | 0,7111 | 0,8960 | 1,1192 | 1,4149 | 1,8946 | 2,3646 | 2,9980 | 3,4995 | 4,0293 | 4,7853 | 5,4079 |
8 | 0,1297 | 0,2619 | 0,3995 | 0,5459 | 0,7064 | 0,8889 | 1,1081 | 1,3968 | 1,8595 | 2,3060 | 2,8965 | 3,3554 | 3,8325 | 4,5008 | 5,0413 |
9 | 0,1293 | 0,2610 | 0,3979 | 0,5435 | 0,7027 | 0,8834 | 1,0997 | 1,3830 | 1,8331 | 2,2622 | 2,8214 | 3,2498 | 3,6897 | 4,2968 | 4,7809 |
10 | 0,1289 | 0,2602 | 0,3966 | 0,5415 | 0,6998 | 0,8791 | 1,0931 | 1,3722 | 1,8125 | 2,2281 | 2,7638 | 3,1693 | 3,5814 | 4,1437 | 4,5869 |
11 | 0,1286 | 0,2596 | 0,3956 | 0,5399 | 0,6974 | 0,8755 | 1,0877 | 1,3634 | 1,7959 | 2,2010 | 2,7181 | 3,1058 | 3,4966 | 4,0247 | 4,437 |
12 | 0,1283 | 0,2590 | 0,3947 | 0,5386 | 0,6955 | 0,8726 | 1,0832 | 1,3562 | 1,7823 | 2,1788 | 2,6810 | 3,0545 | 3,4284 | 3,9296 | 4,3178 |
13 | 0,1281 | 0,2586 | 0,3940 | 0,5375 | 0,6938 | 0,8702 | 1,0795 | 1,3502 | 1,7709 | 2,1604 | 2,6503 | 3,0123 | 3,3725 | 3,852 | 4,2208 |
14 | 0,1280 | 0,2582 | 0,3933 | 0,5366 | 0,6924 | 0,8681 | 1,0763 | 1,3450 | 1,7613 | 2,1448 | 2,6245 | 2,9768 | 3,3257 | 3,7874 | 4,1405 |
15 | 0,1278 | 0,2579 | 0,3928 | 0,5357 | 0,6912 | 0,8662 | 1,0735 | 1,3406 | 1,7531 | 2,1314 | 2,6025 | 2,9467 | 3,286 | 3,7328 | 4,0728 |
16 | 0,1277 | 0,2576 | 0,3923 | 0,5350 | 0,6901 | 0,8647 | 1,0711 | 1,3368 | 1,7459 | 2,1199 | 2,5835 | 2,9208 | 3,252 | 3,6862 | 4,015 |
17 | 0,1276 | 0,2573 | 0,3919 | 0,5344 | 0,6892 | 0,8633 | 1,0690 | 1,3334 | 1,7396 | 2,1098 | 2,5669 | 2,8982 | 3,2224 | 3,6458 | 3,9651 |
18 | 0,1274 | 0,2571 | 0,3915 | 0,5338 | 0,6884 | 0,8620 | 1,0672 | 1,3304 | 1,7341 | 2,1009 | 2,5524 | 2,8784 | 3,1966 | 3,6105 | 3,9216 |
19 | 0,1274 | 0,2569 | 0,3912 | 0,5333 | 0,6876 | 0,8610 | 1,0655 | 1,3277 | 1,7291 | 2,0930 | 2,5395 | 2,8609 | 3,1737 | 3,5794 | 3,8834 |
20 | 0,1273 | 0,2567 | 0,3909 | 0,5329 | 0,6870 | 0,8600 | 1,0640 | 1,3253 | 1,7247 | 2,0860 | 2,5280 | 2,8453 | 3,1534 | 3,5518 | 3,8495 |
21 | 0,1272 | 0,2566 | 0,3906 | 0,5325 | 0,6864 | 0,8591 | 1,0627 | 1,3232 | 1,7207 | 2,0796 | 2,5176 | 2,8314 | 3,1352 | 3,5272 | 3,8193 |
22 | 0,1271 | 0,2564 | 0,3904 | 0,5321 | 0,6858 | 0,8583 | 1,0614 | 1,3212 | 1,7171 | 2,0739 | 2,5083 | 2,8188 | 3,1188 | 3,505 | 3,7921 |
23 | 0,1271 | 0,2563 | 0,3902 | 0,5317 | 0,6853 | 0,8575 | 1,0603 | 1,3195 | 1,7139 | 2,0687 | 2,4999 | 2,8073 | 3,104 | 3,485 | 3,7676 |
24 | 0,1270 | 0,2562 | 0,3900 | 0,5314 | 0,6848 | 0,8569 | 1,0593 | 1,3178 | 1,7109 | 2,0639 | 2,4922 | 2,7969 | 3,0905 | 3,4668 | 3,7454 |
25 | 0,1269 | 0,2561 | 0,3898 | 0,5312 | 0,6844 | 0,8562 | 1,0584 | 1,3163 | 1,7081 | 2,0595 | 2,4851 | 2,7874 | 3,0782 | 3,4502 | 3,7251 |
26 | 0,1269 | 0,2560 | 0,3896 | 0,5309 | 0,6840 | 0,8557 | 1,0575 | 1,3150 | 1,7056 | 2,0555 | 2,4786 | 2,7787 | 3,0669 | 3,435 | 3,7066 |
27 | 0,1268 | 0,2559 | 0,3894 | 0,5306 | 0,6837 | 0,8551 | 1,0567 | 1,3137 | 1,7033 | 2,0518 | 2,4727 | 2,7707 | 3,0565 | 3,421 | 3,6896 |
28 | 0,1268 | 0,2558 | 0,3893 | 0,5304 | 0,6834 | 0,8546 | 1,0560 | 1,3125 | 1,7011 | 2,0484 | 2,4671 | 2,7633 | 3,0469 | 3,4082 | 3,6739 |
29 | 0,1268 | 0,2557 | 0,3892 | 0,5302 | 0,6830 | 0,8542 | 1,0553 | 1,3114 | 1,6991 | 2,0452 | 2,4620 | 2,7564 | 3,038 | 3,3962 | 3,6594 |
30 | 0,1267 | 0,2556 | 0,3890 | 0,5300 | 0,6828 | 0,8538 | 1,0547 | 1,3104 | 1,6973 | 2,0423 | 2,4573 | 2,75 | 3,0298 | 3,3852 | 3,646 |
31 | 0,1267 | 0,2555 | 0,3889 | 0,5298 | 0,6825 | 0,8534 | 1,0541 | 1,3095 | 1,6955 | 2,0395 | 2,4528 | 2,744 | 3,0221 | 3,3749 | 3,6335 |
32 | 0,1267 | 0,2555 | 0,3888 | 0,5297 | 0,6822 | 0,8530 | 1,0535 | 1,3086 | 1,6939 | 2,0369 | 2,4487 | 2,7385 | 3,0149 | 3,3653 | 3,6218 |
33 | 0,1266 | 0,2554 | 0,3887 | 0,5295 | 0,6820 | 0,8526 | 1,0530 | 1,3077 | 1,6924 | 2,0345 | 2,4448 | 2,7333 | 3,0082 | 3,3563 | 3,6109 |
34 | 0,1266 | 0,2553 | 0,3886 | 0,5294 | 0,6818 | 0,8523 | 1,0525 | 1,3070 | 1,6909 | 2,0322 | 2,4411 | 2,7284 | 3,002 | 3,3479 | 3,6007 |
35 | 0,1266 | 0,2553 | 0,3885 | 0,5292 | 0,6816 | 0,8520 | 1,0520 | 1,3062 | 1,6896 | 2,0301 | 2,4377 | 2,7238 | 2,996 | 3,34 | 3,5911 |
36 | 0,1266 | 0,2552 | 0,3884 | 0,5291 | 0,6814 | 0,8517 | 1,0516 | 1,3055 | 1,6883 | 2,0281 | 2,4345 | 2,7195 | 2,9905 | 3,3326 | 3,5821 |
37 | 0,1265 | 0,2552 | 0,3883 | 0,5289 | 0,6812 | 0,8514 | 1,0512 | 1,3049 | 1,6871 | 2,0262 | 2,4314 | 2,7154 | 2,9852 | 3,3256 | 3,5737 |
38 | 0,1265 | 0,2551 | 0,3882 | 0,5288 | 0,6810 | 0,8512 | 1,0508 | 1,3042 | 1,6860 | 2,0244 | 2,4286 | 2,7116 | 2,9803 | 3,319 | 3,5657 |
39 | 0,1265 | 0,2551 | 0,3882 | 0,5287 | 0,6808 | 0,8509 | 1,0504 | 1,3036 | 1,6849 | 2,0227 | 2,4258 | 2,7079 | 2,9756 | 3,3128 | 3,5581 |
40 | 0,1265 | 0,2550 | 0,3881 | 0,5286 | 0,6807 | 0,8507 | 1,0500 | 1,3031 | 1,6839 | 2,0211 | 2,4233 | 2,7045 | 2,9712 | 3,3069 | 3,551 |
41 | 0,1264 | 0,2550 | 0,3880 | 0,5285 | 0,6805 | 0,8505 | 1,0497 | 1,3025 | 1,6829 | 2,0195 | 2,4208 | 2,7012 | 2,967 | 3,3013 | 3,5442 |
42 | 0,1264 | 0,2550 | 0,3880 | 0,5284 | 0,6804 | 0,8503 | 1,0494 | 1,3020 | 1,6820 | 2,0181 | 2,4185 | 2,6981 | 2,963 | 3,296 | 3,5377 |
43 | 0,1264 | 0,2549 | 0,3879 | 0,5283 | 0,6802 | 0,8501 | 1,0491 | 1,3016 | 1,6811 | 2,0167 | 2,4163 | 2,6951 | 2,9592 | 3,2909 | 3,5316 |
44 | 0,1264 | 0,2549 | 0,3878 | 0,5282 | 0,6801 | 0,8499 | 1,0488 | 1,3011 | 1,6802 | 2,0154 | 2,4141 | 2,6923 | 2,9555 | 3,2861 | 3,5258 |
45 | 0,1264 | 0,2549 | 0,3878 | 0,5281 | 0,6800 | 0,8497 | 1,0485 | 1,3006 | 1,6794 | 2,0141 | 2,4121 | 2,6896 | 2,9521 | 3,2815 | 3,5203 |
46 | 0,1264 | 0,2548 | 0,3877 | 0,5281 | 0,6799 | 0,8495 | 1,0483 | 1,3002 | 1,6787 | 2,0129 | 2,4102 | 2,687 | 2,9488 | 3,2771 | 3,515 |
47 | 0,1263 | 0,2548 | 0,3877 | 0,5280 | 0,6797 | 0,8493 | 1,0480 | 1,2998 | 1,6779 | 2,0117 | 2,4083 | 2,6846 | 2,9456 | 3,2729 | 3,5099 |
48 | 0,1263 | 0,2548 | 0,3876 | 0,5279 | 0,6796 | 0,8492 | 1,0478 | 1,2994 | 1,6772 | 2,0106 | 2,4066 | 2,6822 | 2,9426 | 3,2689 | 3,5051 |
49 | 0,1263 | 0,2547 | 0,3876 | 0,5278 | 0,6795 | 0,8490 | 1,0475 | 1,2991 | 1,6766 | 2,0096 | 2,4049 | 2,68 | 2,9397 | 3,2651 | 3,5004 |
50 | 0,1263 | 0,2547 | 0,3875 | 0,5278 | 0,6794 | 0,8489 | 1,0473 | 1,2987 | 1,6759 | 2,0086 | 2,4033 | 2,6778 | 2,937 | 3,2614 | 3,496 |
100 | 0,1260 | 0,2540 | 0,3864 | 0,5261 | 0,6770 | 0,8452 | 1,0418 | 1,2901 | 1,6602 | 1,9840 | 2,3642 | 2,6259 | 2,8707 | 3,1737 | 3,3905 |
1000 | 0,1257 | 0,2534 | 0,3854 | 0,5246 | 0,6747 | 0,8420 | 1,0370 | 1,2824 | 1,6464 | 1,9623 | 2,3301 | 2,5808 | 2,8133 | 3,0984 | 3,3003 |
Inf | 0,1257 | 0,2534 | 0,3853 | 0,5244 | 0,6745 | 0,8416 | 1,0364 | 1,2816 | 1,6449 | 1,9600 | 2,3263 | 2,5758 | 2,8070 | 3,0902 | 3,2905 |
Пример
править- ( =0,2, k=4);
- ( =0,8, k=4).
См. также
править- Средняя квадратическая погрешность
- Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |