Интегральная формула Коши

Интегральная формула Коши — соотношение для голоморфных функций комплексного переменного, связывающее значение функции в точке с её значениями на контуре, окружающем точку.

Эта формула выражает одну из важнейших особенностей комплексного анализа: значение в любой точке внутри области можно определить, зная значения на её границе.

Формулировка

Пусть $D$ — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей $\Gamma =\partial D$, функция $f(z)$ голоморфна в ${\overline {D}}$, и $z_{0}$ — точка внутри области $D$. Тогда справедлива следующая формула Коши:

$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz.$

Формула справедлива также, если предполагать, что $f(z)$ голоморфна внутри $D$ и непрерывна на замыкании, а также если граница $D$ не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.

Доказательство

Рассмотрим окружность $S_{\rho }$ достаточно малого радиуса $\rho$ с центром в точке $z_{0}$.

В области, ограниченной контурами $\Gamma$ и $S_{\rho }$ (то есть состоящей из точек области $D$ за исключением точек внутри $S_{\rho }$), подынтегральная функция не имеет особенностей, и по интегральной теореме Коши интеграл от неё по границе этой области равен нулю. Это означает, что независимо от $\rho$ имеем равенство

$\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz=\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz.$

Для расчёта интегралов по $S_{\rho }$ применим параметризацию $z=z_{0}+\rho e^{i\varphi },\ \varphi \in [0;\;2\pi ]$.

Сначала докажем формулу Коши отдельно для случая $f(z)=1$:

${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {1}{z-z_{0}}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {1}{\rho e^{i\varphi }}}i\rho e^{i\varphi }\,d\varphi =1.$

Воспользуемся ею для доказательства общего случая:

${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz-f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz-{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z_{0})}{z-z_{0}}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}\,dz.$

Так как функция $f(z)$ комплексно дифференцируема в точке $z_{0}$, то

${\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}=f'(z_{0})+o(1).$

Интеграл от $f'(z_{0})$ равен нулю:

${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}f'(z_{0})\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }f'(z_{0})i\rho e^{i\varphi }\,d\varphi =0.$

Интеграл от члена $o(1)$ может быть сделан сколь угодно малым при $\rho \to 0$. Но поскольку он от $\rho$ вообще не зависит, значит он равен нулю. В итоге получаем, что

${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz-f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}\,dz=0.$

Следствия

Формула Коши имеет массу различных следствий. Это ключевая теорема всего комплексного анализа. Вот некоторые из её следствий:

Аналитичность голоморфных функций

В окрестности любой точки $z_{0}$ из области, где функция $f(z)$ голоморфна, она совпадает с суммой степенного ряда:

$f(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}$,

причём его радиус сходимости не меньше радиуса круга с центром в точке $z_{0}$, в котором функция $f(z)$ голоморфна, а коэффициенты $c_{n}$ могут быть вычислены по интегральным формулам:

$c_{n}={1 \over 2\pi i}\int \limits _{\Gamma }{f(z) \over (z-z_{0})^{n+1}}\,dz$.

Из этих формул следуют неравенства Коши для коэффициентов $c_{n}$ функций, голоморфных в круге ${|z-z_{0}|<r}$:

$c_{n}\leqslant r^{-n}M(r)$,

где $M(r)$ — максимум модуля функции $f(z)$ на окружности ${|z-z_{0}|=r}$, а из них — теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если функция голоморфна во всей комплексной плоскости и ограничена, она есть константа.

Кроме того, сочетая формулы для коэффициентов с теоремой о голоморфности суммы степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости и формулой, выражающей коэффициенты степенного ряда через производные его суммы

$c_{n}={{f^{(n)}(z_{0})} \over n!}$

получается интегральное представление производных функции $f(z)$:

$f^{(n)}(z_{0})={n! \over 2\pi i}\int \limits _{\Gamma }{f(z) \over (z-z_{0})^{n+1}}\,dz.$

Оценки производных, аналогичные неравенствам Коши, дают теорему о равностепенной непрерывности семейства голоморфных функций в ограниченной области $D$, если это семейство равномерно ограничено в $D$. В сочетании с теоремой Арцела — Асколи, получается теорема Монтеля о компактном семействе функций: из любого равномерно ограниченного семейства функций, голоморфных в ограниченной области $D$, можно выделить такую последовательность функций, которая будет сходиться в $D$ к некоторой голоморфной функции равномерно.

Представимость голоморфных функций рядами Лорана в кольцевых областях

Если функция $f(z)$ голоморфна в области $D$ вида $\{r<|z-z_{0}|<R\}$, то в ней она представима суммой ряда Лорана:

$f(z)=\sum \limits _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n},$

причём коэффициенты $c_{n}$ могут быть вычислены по интегральным формулам:

$c_{n}={1 \over 2\pi i}\int \limits _{\Gamma }{f(z) \over (z-z_{0})^{n+1}}\,dz,$

а сам ряд Лорана сходится в $D$ к функции $f(z)$ равномерно на каждом компакте из $D$.

Формула для коэффициента $c_{-1}$ часто применяется для вычисления интегралов от функции $f(z)$ по различным контурам, используя алгебраические методы и теорию вычетов.

Также в терминах рядов Лорана производится классификация изолированных особых точек голоморфных функций.

Теоремы о среднем для голоморфных функций

Если функция $f(z)$ голоморфна в круге $\{|z-z_{0}|<R\}$, тогда для каждого $r\,(0<r<R)$

$f(z_{0})={1 \over 2\pi }\int \limits _{0}^{2\pi }f(z_{0}+re^{i\varphi })\,d\varphi ,$

а также если $B_{r}$ — круг радиуса $r$ с центром в $z_{0}$, тогда

$f(z_{0})={1 \over \pi r^{2}}\int \limits _{B_{r}}f(z)\,dx\,dy.$

Из теорем о среднем следует принцип максимума модуля для голоморфных функций: если функция $f(z)$ голоморфна в области $D$ и внутри $D$ её модуль имеет локальный максимум, тогда эта функция есть константа.

Из принципа максимума модуля следует принцип максимума для вещественной и мнимой части голоморфной функции: если функция $f(z)$ голоморфна в области $D$ и внутри $D$ её вещественная или мнимая часть имеет локальный максимум или минимум, тогда эта функция есть константа.

Теоремы о единственности

Из принципа максимума модуля и представимости голоморфных функций степенными рядами следуют ещё 3 важных результата:

• лемма Шварца: если функция $f(z)$ голоморфна в круге ${|z|<1}$, $f(0)=0$ и для всех точек $z$ из этого круга $|f(z)|\leqslant 1$, тогда всюду в этом круге $|f(z)|\leqslant |z|$;
• теорема единственности для степенных рядов: голоморфные функции, имеющие одинаковые ряды Тейлора в точке $z_{0}$, совпадают в некоторой окрестности этой точки;
• теорема о нулях голоморфной функции: если нули функции $f(z)$, голоморфной в области $D$ имеют предельную точку внутри $D$, тогда функция $f(z)$ равна нулю всюду в $D$.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Интегральная формула Коши (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Cauchy Integral Formula Module by John H. Mathews

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.