Конструктивная математика

Конструктивная математика — абстрактная наука о мыслительных конструктивных процессах, человеческой способности осуществлять их, и об их результатах — конструктивных математических объектах. Является результатом развития конструктивного направления в математике — математического мировоззрения, которое в отличие от теоретико-множественного направления считает основной задачей математики исследование конструктивных процессов и конструктивных объектов^[1].

Основоположником конструктивного направления можно считать Давида Гильберта после его неудавшейся попытки обосновать теоретико-множественную математику на базе конструктивной. Одним из основоположников собственно конструктивной математики является советский учёный Андрей Марков.

Абстракции конструктивной математики

Абстрактность конструктивной математики проявляется в систематическом применении двух основных отвлечений: абстракции отождествления и абстракции потенциальной осуществимости или потенциальной бесконечности.

Абстракцию отождествления используют, когда говорят о двух в том или ином смысле одинаковых объектах как об одном и том же объекте.

Абстракцию потенциальной осуществимости (потенциальной бесконечности) используют, когда при конструировании отвлекаются от практических ограничений в пространстве, времени и материале. Допустимость этой абстракции отличает конструктивизм от ультрафинитизма.

Конструктивная математика отвергает используемую в теоретико-множественной математике абстракцию актуальной бесконечности, связанную с рассмотрением никогда не завершаемых процессов как бесконечно продолженных и тем самым как бы завершённых^[1].

Основные объекты рассмотрения

Представления о конструктивном процессе и конструктивном объекте не имеют общего определения. Различные теории конструктивной математики могут иметь дело с конструктивными объектами самых разнообразных конкретных видов (целочисленными матрицами, многочленами с рациональными коэффициентами, и т. д.). Однако может быть указано несколько типов конструктивных объектов, способных моделировать любые другие известные конструктивные объекты (и, тем самым, способных считаться в некотором смысле конструктивными объектами общего вида). Таковы, в частности, слова в различных алфавитах.

Особенности логики конструктивной математики

Характерной чертой конструктивных объектов является то обстоятельство, что они не существуют извечно. Они рождаются в результате развёртывания некоторых конструктивных процессов, а затем исчезают (в силу различных причин). Алгебраическое выражение, написанное мелом на доске, находилось на этой доске не всегда — и просуществует на ней ровно до того момента, пока его не сотрут. Таблица, сохранённая на жёстком диске персональной ЭВМ, также заведомо не существовала до момента изготовления этого диска — и также рано или поздно будет уничтожена (или в результате переформатирования, или в результате выхода диска из строя).

В связи со сказанным, в конструктивной математике под «существованием» конструктивного объекта понимается его потенциальная осуществимость — то есть наличие в нашем распоряжении метода, позволяющего воспроизводить этот объект любое потребное число раз. Такое понимание резко расходится с пониманием существования объекта, принятым в теоретико-множественной математике. В теории множеств факт постоянного рождения и исчезновения конструктивных объектов не находит никакого выражения: с её точки зрения, подвижные реальные объекты являются лишь «тенями» вечно существующих в некотором фантастическом мире статичных «идеальных объектов» (и только эти «идеальные объекты» и следует якобы рассматривать в математике).

Понимание существования объекта как потенциальной осуществимости приводит к тому, что логические законы, действующие в конструктивной математике, оказываются отличными от классических. В частности, теряет универсальную применимость закон исключённого третьего. Действительно, формула $(A\lor (\neg A))$ при конструктивном понимании выражает суждение

«среди формул $A$ и $(\neg A)$ потенциально осуществима верная»,

однако классический вывод дизъюнкции $(A\lor (\neg A))$ не даёт никакого способа построить её верный член. Аналогичным образом, логическое опровержение предположения, что любой конструктивный объект рассматриваемого вида обладает некоторым свойством $T$ — считающееся в теоретико-множественной математике достаточным основанием признать «существующим» объект со свойством $(\neg T)$ , — не может само по себе служить поводом для признания объекта со свойством $(\neg T)$ потенциально осуществимым. Следует заметить, однако, что за такого рода логическими опровержениями всё же признаётся определённая эвристическая ценность (так как они, хотя и не дают никакого способа построения искомого объекта, всё же указывают на осмысленность попыток такого построения). Неконструктивные объекты, для которых удалось в рамках классической логики доказать их «существование», принято называть квазиосуществимыми.

Различие между понятиями потенциально осуществимого и квазиосуществимого конструктивного объекта становится особенно существенным при рассмотрении общих утверждений о существовании. Действительно, суждение

«для любого конструктивного объекта $X$ рассматриваемого вида потенциально осуществим конструктивный объект $Y$ , находящийся в отношении $T$ к объекту $X$ »

означает наличие в нашем распоряжении единого общего метода (алгоритма) переработки объекта $X$ в отвечающий ему объект $Y$ . Поэтому такое суждение может быть заведомо неверным даже в случае верности суждения

«для любого конструктивного объекта $X$ рассматриваемого вида квазиосуществим конструктивный объект $Y$ , находящийся в отношении $T$ к объекту $X$ ».

Некоторые конкретные теории конструктивной математики

Конкретные математические теории, развиваемые в рамках представлений конструктивной математики, обладают рядом существенных отличий от соответствующих теоретико-множественных теорий.

Например, основное понятие математического анализа — понятие вещественного числа — вводится в традиционном варианте теории на базе общего представления о множестве. Для конструктивной математики, требующей, чтобы рассмотрение ограничивалось конструктивными объектами, такой способ определения понятия вещественного числа неприемлем. В ней под вещественными числами обычно понимают записи алгоритмов ${\mathfrak {A}}$ , перерабатывающих любое натуральное число в некоторое рациональное число, и удовлетворяющих условию

\forall n\in \mathbb {N} \,|{\mathfrak {A}}(n)-{\mathfrak {A}}(n+1)|\leq 2^{-n-1}.

Такие записи представляют собой конструктивные объекты и допускаются к рассмотрению в конструктивной математике. Как обычно, два вещественных числа ${\mathfrak {A}}$ и ${\mathfrak {B}}$ считаются равными, если выполняется условие

\forall n\in \mathbb {N} \,|{\mathfrak {A}}(n)-{\mathfrak {B}}(n)|\leq 2^{-n+1}.

Следует отметить, что проблема распознавания равенства двух произвольных вещественных чисел является алгоритмически неразрешимой, а потому при конструктивном понимании математических суждений утверждение

«любые два вещественных числа или равны, или не равны»

оказывается ложным. Соответственно, теоретико-множественное представление об атомарности континуума (его собственности из чётко отделённых друг от друга точек — актуально бесконечного множества актуально бесконечных объектов) не переносится в конструктивную математику.

Многие утверждения теоретико-множественного анализа в конструктивном анализе опровергаются на примерах. Таковы, в частности, теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности и лемма Гейне — Бореля о выборе покрытия. Ряд других утверждений теоретико-множественного анализа могут быть перенесены в конструктивную математику лишь при условии понимания «существования» искомого объекта как квазиосуществимости (а не потенциальной осуществимости). Таковы теорема о представлении вещественных чисел систематическими дробями и теорема о нуле знакопеременной непрерывной функции.

С другой стороны, в конструктивном анализе доказывается ряд утверждений, не имеющих теоретико-множественных аналогов. Одним из наиболее ярких примеров здесь является теорема Г. С. Цейтина о непрерывности любого отображения из сепарабельного метрического пространства в метрическое пространство. Из этой теоремы следует, в частности, что любое отображение метрических пространств является непрерывным по Гейне. Следует заметить, что известны примеры отображений из несепарабельных пространств, которые не являются непрерывными по Коши. Таким образом, в конструктивной математике может быть опровергнуто на примерах утверждение об эквивалентности непрерывности отображения по Коши и по Гейне, доказываемое в классическом анализе на основе привлечения сильных теоретико-множественных средств (в частности, аксиомы выбора).

См. также

Примечания

↑ ¹ ² Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 847.

Литература

Марков А. А. Избранные труды. — М.: Изд-во МЦНМО, 2003. — Т. II. Теория алгоритмов и конструктивная математика, математическая логика, информатика и смежные вопросы. — 626 с. — ISBN 5-94057-113-1.
Марков А. А., Нагорный Н. М. Теория алгорифмов. — 2-е изд.. — М.: ФАЗИС, 1996.
Нагорный Н. М. Абстракция актуальной бесконечности, Абстракция отождествления, Абстракция потенциальной осуществимости // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1: А — Г. — С. 43, 44. — 1152 стб. : ил. — 150 000 экз.
Кушнер Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу. — М.: Наука, 1973. — 447 с.
Кушнер Б. А. Конструктивная математика, Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2. — 1042 с.
Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. — М.: Наука, 1975. — 259 с.
Рузавин Г. И. О природе математического знания. — М.: Мысль, 1968. — 302 с.
Акимов О. Е. Дискретная математика: логика, группы, графы. — 2-е изд. — М.: «Лаборатория Базовых Знаний», 2003. — 376 с.
H. H. Непейвода. Конструктивное направление // Новая философская энциклопедия : в 4 т. / пред. науч.-ред. совета В. С. Стёпин. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Мысль, 2010. — 2816 с.

[ReferenceA-1] ¹ ² Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 847.

[1]