Закон Бернулли

Эта статья об уравнении Бернулли в гидродинамике; о дифференциальном уравнении Бернулли см. Дифференциальное уравнение Бернулли.

Зако́н Берну́лли (также уравне́ние Берну́лли, теоре́ма Берну́лли или интегра́л Берну́лли) устанавливает зависимость между скоростью стационарного потока жидкости и её давлением. Согласно этому закону, если вдоль линии тока давление жидкости повышается, то скорость течения убывает, и наоборот. Количественное выражение закона в виде интеграла Бернулли является результатом интегрирования уравнений гидродинамики идеальной жидкости (то есть без вязкости и теплопроводности).

Рисунок из «Гидродинамики» Д. Бернулли: из-за течения по трубе, компенсирующего расход через правое отверстие О, давление в трубе меньше, чем в сосуде слева.

История

Для случая несжимаемой жидкости результат, эквивалентный современному уравнению Бернулли, был опубликован в 1738 году Даниилом Бернулли. В современном виде интеграл был опубликован Иоганном Бернулли в 1743 году для случая несжимаемой жидкости, а для некоторых случаев течений сжимаемой жидкости — Эйлером в 1757 году.

Интеграл Бернулли в несжимаемой жидкости

Полное давление
Размерность	$L^{-1}MT^{-2}$
Единицы измерения
СИ	Дж/м3 = Па
СГС	эрг/см3
Примечания
Постоянно вдоль линии тока стационарного течения несжимаемой жидкости.

Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение Бернулли может быть получено как следствие закона сохранения энергии. Закон Бернулли утверждает, что величина $\rho v^{2}/2+\rho gh+p$ сохраняет постоянное значение вдоль линии тока:

${\frac {\rho v^{2}}{2}}+\rho gh+p={\text{const}}.$

Здесь

$\rho$ — плотность жидкости;

$v$ — скорость потока;

$h$ — высота;

$p$ — давление;

$g$ — ускорение свободного падения.

Элементарный вывод уравнения Бернулли из закона сохранения энергии

Элементарный вывод уравнения Бернулли из закона сохранения энергии приведён, например, в учебнике Д. В. Сивухина. Рассматривается стационарное движение жидкости вдоль линии тока, изображённое на рисунке. Слева на объем жидкости, первоначально заключённый между двумя сечениями $A_{1}$ и $A_{2}$, действует сила $F_{1}=p_{1}A_{1}$, а справа — противоположного направления сила $F_{2}=-p_{2}A_{2}$. Скорость $v$ и давление $p$ в сечениях 1 и 2, а также их площади обозначены нижними индексами 1 и 2. За бесконечно малое время $\Delta t$ левая граница этого объёма жидкости сместилась на малое расстояние $s_{1}=v_{1}\Delta t$, а правая — на расстояние $s_{2}=v_{2}\Delta t$. Работа, совершённая силами давления, равна:

$W=F_{1}s_{1}+F_{2}s_{2}=\Delta t\left(v_{1}A_{1}p_{1}-v_{2}A_{2}p_{2}\right).$

В начале интервала времени $\Delta t$ объем жидкости, заключённый между двумя поверхностями $A_{1}$ и $A_{2}$, состоит из левого голубого элемента и средней синей части, в конце этого интервала сместившийся объём состоит из средней синей части и правого голубого элемента. Так как течение стационарное, вклад синего фрагмента в энергию и массу обсуждаемого объёма жидкости не меняется, а сохранение массы позволяет заключить, что масса левого голубого элемента равна массе правого голубого элемента: $\Delta m=\Delta tv_{1}A_{1}\rho _{1}=\Delta tv_{2}A_{2}\rho _{2}.$ Поэтому работа сил, выражение для которой можно преобразовать к виду: $\Delta W=\Delta m\left({\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}-{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right),$ равна изменению энергии, равному, в свою очередь, разности энергий правого голубого элемента $\Delta E_{2}$ и левого голубого элемента $\Delta E_{1}$.

Для несжимаемой жидкости можно, во-первых, в выражении для работы положить $\rho _{1}=\rho _{2}=\rho$ и, во-вторых, в выражении для энергии элемента жидкости ограничиться кинетической и потенциальной энергией: $\Delta E_{1}=\Delta m\left({\frac {v_{1}^{2}}{2}}+gh_{1}\right),$ $\Delta E_{2}=\Delta m\left({\frac {v_{2}^{2}}{2}}+gh_{2}\right).$ После этого равенство $\Delta W=\Delta E_{2}-\Delta E_{1}$ даёт: $p_{1}+\rho gh_{1}+{\frac {\rho v_{1}^{2}}{2}}=p_{2}+\rho gh_{2}+{\frac {\rho v_{2}^{2}}{2}}$, или $p+\rho gh+{\frac {\rho v^{2}}{2}}={\rm {const}}$.

Константа в правой части (может различаться для различных линий тока) иногда называется полным давлением. Могут также использоваться термины «весовое давление» $\rho gh$, «статическое давление» $p$ и «динамическое давление» $\rho v^{2}/2$. По словам Д. В. Сивухина, нерациональность этих понятий отмечалась многими физиками.

Размерность всех слагаемых — единица энергии на единицу объёма. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приведённый выше вывод уравнения Бернулли), но в гидравлике может называться «энергией давления» и частью потенциальной энергии).

Вывод формулы Торричелли из закона Бернулли

Основная статья: Формула Торричелли

Иллюстрация формулы Торричелли

В применении к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда закон Бернулли даёт равенство полных давлений на свободной поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

$\rho gh+p_{0}={\frac {\rho v^{2}}{2}}+p_{0},$

где

$h$ — высота столба жидкости в сосуде, отсчитанная от уровня отверстия,

$v$ — скорость истечения жидкости,

$p_{0}$ — атмосферное давление.

Отсюда: $v={\sqrt {2gh}}$. Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты $h$. Или, если истекающую из малого отверстия в сосуде струю направить вверх, в верхней точке (в пренебрежении потерями) струя достигнет уровня свободной поверхности в сосуде.

Другие проявления и применения закона Бернулли

Закон Бернулли объясняет эффект Вентури: в узкой части трубы скорость течения жидкости выше, а давление меньше, чем в широкой части

Приближение несжимаемой жидкости, а с ним и закон Бернулли справедливы и для ламинарных течений газа, если только скорости течения малы по сравнению со скоростью звука.

Основная статья: Эффект Вентури

Вдоль горизонтальной трубы координата $z$ постоянна и уравнение Бернулли принимает вид ${\frac {\rho v^{2}}{2}}+p={\text{const}}$. Отсюда следует, что при уменьшении сечения потока из-за возрастания скорости давление падает. Эффект понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы расходомера Вентури и струйного насоса.

Закон Бернулли объясняет, почему суда, движущиеся параллельным курсом, могут притягиваться друг к другу (например, такой инцидент произошёл с лайнером «Олимпик»).

Применение в гидравлике

Основные статьи: Гидравлика, Гидравлические потери и Напор

Последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики. Для технических приложений часто уравнение Бернулли записывается в виде, в котором все члены разделены на «удельный вес» $\rho g$:

$H=h+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}={\text{const}},$

где имеющие размерность длины члены в этом уравнении могут иметь следующие названия:

Напор
Размерность	$L$
Единицы измерения
СИ	метр
Примечания
Полное давление, делённое на удельный вес.

$H$ — гидравлическая высота или напор,

$h$ — нивелирная высота,

${\frac {p}{\rho g}}$ — пьезометрическая высота или (в сумме с нивелирной высотой) гидростатический напор,

${\frac {v^{2}}{2g}}$ — скоростная высота или скоростной напор.

Закон Бернулли справедлив только для идеальных жидкостей, в которых отсутствуют потери на вязкое трение. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, приближённо учитывающих различные «гидравлические потери напора».

Интеграл Бернулли в баротропных течениях

Основная статья: Баротропность

Уравнение Бернулли может быть выведено и из уравнения движения жидкости. При этом течение предполагается стационарным и баротропным. Последнее означает, что плотность жидкости или газа не обязательно постоянна (как у предполагавшейся ранее несжимаемой жидкости), но является функцией только давления: $\rho =\rho (p)$, что позволяет ввести функцию давления ${\mathcal {P}}=\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho (p)}}.$ В этих предположениях величина

${\frac {v^{2}}{2}}+gh+{\mathcal {P}}={\text{const}}$

постоянна вдоль любой линии тока и любой вихревой линии. Соотношение справедливо для течения в любом потенциальном поле, при этом $gh$ заменяется на потенциал массовой силы $\varphi$.

Вывод интеграла Бернулли для баротропного течения

Уравнение Громеки — Лэмба (квадратные скобки обозначают векторное произведение) имеет вид:

${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} \left({\frac {v^{2}}{2}}\right)+\left[\mathrm {rot} \,{\vec {v}},{\vec {v}}\right]=-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} p+{\vec {F}}$

В силу сделанных предположений ${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}=0,$ ${\frac {\operatorname {grad} p}{\rho }}=\operatorname {grad} {\cal {P}}$ и ${\vec {F}}=-\operatorname {grad} \varphi$ (в частном случае однородной силы тяжести её потенциал равен $\varphi =g\,h$), так что уравнение Громеки — Лэмба принимает вид:

$\operatorname {grad} \left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}\right)+\left[\mathrm {rot} \,{\vec {v}},{\vec {v}}\right]=0$

Скалярное произведение этого уравнения на единичный вектор ${\vec {l}}={\frac {\vec {v}}{v}},$ касательный к линии тока, даёт:

${\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}\right)=0$

так как произведение градиента на единичный вектор даёт производную по направлению ${\frac {\partial }{\partial l}}$, а векторное произведение перпендикулярно направлению скорости. Следовательно, вдоль линии тока ${\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}=\mathrm {const} .$ Такое соотношение справедливо и для вихревой линии, касательный вектор к которой в каждой точке направлен по $\mathrm {rot} \,{\vec {v}}.$

Для безвихревых баротропных течений, скорость которых может быть выражена в виде градиента потенциала скорости ${\vec {v}}=\operatorname {grad} \psi$, интеграл Бернулли в виде ${\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {\left(\operatorname {grad} \psi \right)^{2}}{2}}+gh+{\cal {P}}=\mathrm {const}$ сохраняется также в нестационарных течениях, причём постоянная в правой части имеет одинаковое значение для всего течения.

Формула Сен-Венана — Ванцеля

Если в течении совершенного газа выполняется адиабатический закон

$p={\frac {p_{0}}{\rho _{0}^{\gamma }}}\rho ^{\gamma },\qquad \rho ={\frac {\rho _{0}}{p_{0}^{1/\gamma }}}p^{1/\gamma },\qquad {\cal {P}}=-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right],$

то уравнение Бернулли выражается так (вкладом от силы тяжести обычно можно пренебречь):

${\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right]=\mathrm {const}$ вдоль линии тока или вихревой линии. Здесь

$\gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}$ — показатель адиабаты газа, выражающийся через теплоёмкости при постоянном давлении и при постоянном объёме,

$p,\ \rho$ — давление и плотность газа,

$p_{0},\ \rho _{0}$ — условно выбранные постоянные (одинаковые для всего течения) значения давления и плотности.

С помощью полученной формулы находят скорость газа, вытекающего из сосуда с высоким давлением через малое отверстие. Удобно давление и плотность газа в сосуде, скорость газа в котором равна нулю, принять за $p_{0},\ \rho _{0},$ тогда скорость истечения выражается через внешнее давление $p$ по формуле Сен-Венана — Ванцеля:

$v^{2}={\frac {2\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right].$

Термодинамика закона Бернулли

Основная статья: Энтальпия

Из термодинамики следует, что вдоль линии тока любого стационарного течения идеальной жидкости

${\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi ={\text{const}},\quad s={\text{const}},$

где $w$ — энтальпия единицы массы, $\varphi$ — гравитационный потенциал (равный $gz$ для однородной силы тяжести), $s$ — энтропия единицы массы.

Вывод закона Бернулли из уравнения Эйлера и термодинамических соотношений

1. Уравнение Эйлера для стационарного ($\partial {\vec {v}}/\partial t=0$) движения идеальной жидкости в поле силы тяжести имеет вид

$({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\vec {g}},$

где ускорение силы тяжести можно выразить через гравитационный потенциал ${\vec {g}}=-\nabla \varphi$ (для однородного поля $\varphi =gh$), точка между векторами в круглых скобках означает их скалярное произведение.

2. Скалярное произведение этого уравнения на единичный вектор ${\vec {l}}={\frac {\vec {v}}{v}},$ касательный к линии тока даёт

${\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi \right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial l}},$

так как произведение градиента на единичный вектор даёт производную по направлению ${\frac {\partial }{\partial l}}.$

3. Термодинамическое дифференциальное соотношение

$\mathrm {d} w={\frac {1}{\rho }}\mathrm {d} p+T\mathrm {d} s,$

где $w$ — энтальпии единицы массы, $T$ — температура и $s$ — энтропия единицы массы, даёт

${\frac {\partial w}{\partial l}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial l}}+T{\frac {\partial s}{\partial l}},\quad$ так что ${\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi \right)=T{\frac {\partial s}{\partial l}}.$

В стационарном течении идеальной жидкости все частицы, движущиеся вдоль данной линии тока, имеют одинаковую энтропию ($\partial s/\partial l=0$), поэтому вдоль линии тока:

$s={\text{const}},\quad {\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi ={\text{const}}.$

Интеграл Бернулли применяют в инженерных расчётах, в том числе для сред, весьма далёких по своим свойствам от идеального газа, например для водяного пара, используемого в качестве теплоносителя в паровых турбинах. При этом могут использоваться так называемые диаграммы Молье, представляющие удельную энтальпию (по оси ординат) как функцию удельной энтропии (по оси абсцисс), и, например, давления (или температуры) в виде семейства изобар (изотерм). В этом случае последовательность состояний вдоль линии тока лежит на некоторой вертикальной линии ($s={\text{const}}$). Длина отрезка этой линии, отсекаемого двумя изобарами, соответствующими начальному и конечному давлению теплоносителя, равна половине изменения квадрата скорости.

Обобщения интеграла Бернулли

Интеграл Бернулли также сохраняется при переходе потока через фронт ударной волны, в системе отсчета, в которой ударная волна покоится. Однако при таком переходе энтропия среды не остаётся постоянной (возрастает), поэтому соотношение Бернулли является лишь одним из трёх соотношений Гюгонио, наряду с законами сохранения массы и импульса, связывающих состояние среды за фронтом с состоянием среды перед фронтом и со скоростью ударной волны.

Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений), в магнитной гидродинамике, феррогидродинамике. В релятивистской гидродинамике, когда скорости течения становятся сравнимыми со скоростью света $c$, интеграл формулируется в терминах релятивистски инвариантных удельной энтальпии и удельной энтропии.

Литература

• Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости / Пер. с англ. под ред. Г. Ю. Степанова. — М.: Мир, 1973. — 760 с.
• Вишневецкий С. Л. Бернулли уравнение // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова-Бома эффект — Длинные линии. — С. 187. — 704 с.
• Гольдштейн Р. В., Городцов В. А. Механика сплошных сред. Часть 1. — М.: Физматлит, 2000. — 256 с. — ISBN 5-02-015555-1.
• Зубарев, Д. Н. Релятивистская термодинамика // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1994. — Т. 4: Пойнтинга-Робертсона эффект — Стримеры. — С. 333—334. — 704 с. — ISBN 5-85270-087-8.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2001. — 736 с. — («Теоретическая физика», том VI). — ISBN 5-9221-0121-8.
• Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003. — 842 с. — ISBN 5-7107-6327-6.
• Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика. — М.: Мир, 1964. — 656 с.
• Михайлов Г. К. Становление гидравлики и гидродинамики в трудах петербургских академиков (XVIII) // Известия Академии наук, серия Механика жидкости и газа : журнал. — 1999. — Вып. 6. — С. 7–25.
• Напор // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1992. — Т. 3: Магнитоплазменный компрессор — Пойнтинга теорема. — С. 242. — 672 с. — ISBN 5-85270-019-3.
• Поль Р. В. Механика, акустика и учение о теплоте. — Рипол Классик, 2013. — 490 с. — ISBN 5458431251, 9785458431255.
• Седов Л. И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970. — Т. 2. — 568 с.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 3-е, исправленное и дополненное. — М.: Наука, 1989. — Т. I. Механика. — 576 с. — ISBN 5-02-014054-6.
• Титьенс О., Прандтль Л. Гидро- и аэромеханика. — М.-Л.: ГТТИ, 1933. — Т. 1. — 224 с.
• Трусделл К. Очерки по истории механики. — М. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 316 с. — ISBN 5-93972-192-3.
• Фабер Т. Е. Гидроаэродинамика / Пер. с англ. под ред. А. А. Павельева. — М.: Постмаркет, 2001. — 560 с. — ISBN 5-901095-04-9.
• Чёрный Г. Г. Газовая динамика. — М.: Наука, 1988. — 424 с. — ISBN 5-02-013814-2.
• §182. Закон Бернулли // Элементарный учебник физики / Под ред. Г. С. Ландсберга. — М.: Наука, 1985. — Т. 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика.
• Darrigol O. Worlds of flow. A history of hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl. — Oxford: Oxford University Press, 2005. — 356 с. — ISBN 978-0-19-856843-8.
• Euler L. Continuation des recherches sur la théorie du mouvement des fluides // Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres. — Berlin, 1755 (1757). — Т. 11. — С. 316—361.
• Truesdell, Clifford Ambrose. Rational fluid mechanics, 1687–1765. Editor’s introduction to Euleri Opera omnia II 12 // Leonardi Euleri. Opera Omnia. — Lausanne: Auctoritate et Impensis, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, 1954. — Т. 12. — С. I—CXXV. — (II).

Ссылки

• Русский перевод трактата Даниила Бернулли, в котором впервые появляется интеграл (закон) Бернулли