Индуктивная размерность

Индуктивная размерность — тип определения размерности топологического пространства, основанный на наблюдении, что сферы в Евклидовом пространстве имеют размерность на единицу меньше.

Существует два варианта определения индуктивной размерности, так называемые большая и малая индуктивные размерности; для пространства $X$ они обычно обозначаются $\mathrm {Ind} \,X$ и $\mathrm {ind} \,X$ соответственно. В большинстве топологических пространств встречающихся в приложениях обе размерности совпадают, и они также равны размерности Лебега.

Определение

По определению размерность пустого множества считается равной $-1$ ; то есть

\mathrm {ind} \,\varnothing =\mathrm {Ind} \,\varnothing =-1

$\mathrm {ind} \,X$ — малая индуктивная размерность топологического пространства $X$ , определяется как наименьшее число $n$ такое, что для любой точки $x\in X$ и любой её открытой окрестности $U$ , существует открытое множество $W$ , что $\mathrm {ind} \,\partial W\leq n-1$ , то есть малая индуктивная размерность границы $W$ не превосходит $n-1$ и

x\in W\subset {\bar {W}}\subset U,

где ${\bar {W}}$ обозначает замыкание $W$ .

$\mathrm {Ind} \,X$ — большая индуктивная размерность определяется похожим способом: как наименьшее число $n$ такое, что для любого замкнутого множества $K\subset X$ и любой его открытой окрестности $U$ , существует открытое множество $W$ , что $\mathrm {Ind} \,\partial W\leq n-1$ и

K\subset W\subset {\bar {W}}\subset U.

Замечания

Размерность Лебега является ещё одним вариантом определения размерности топологического пространства; термин «топологическая размерность» обычно используется именно для размерности Лебега, для пространства $X$ она обывно обозначаются $\dim X$ .

Свойства

$\dim X=0$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {Ind} X=0.$
(Теорема Урысона) для нормального пространства $X$ со счётной базой, выполняется равенство
$\dim X=\operatorname {Ind} X=\operatorname {ind} X.$

Иначе говоря, у сепарабельных и метризуемых пространств, обе индуктивные размерности совпадают с размерностью Лебега.

Для метризуемых пространств $X$ выполнено следующее (Мирослав Катетов)
$\dim X=\operatorname {Ind} X\geq \operatorname {ind} X.$
Если пространство $X$ компактно и хаусдорфово то (П. С. Александров)
$\operatorname {Ind} X\geq \operatorname {ind} X\geq \dim X.$
- Оба эти неравенства могут быть строгими (В. В. Филиппов)

Сепарабельное метрическое пространство $X$ удовлетворяет неравенству $\operatorname {Ind} X\leq n$ тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого подпространства $A$ пространства $X$ , каждое непрерывное отображение $f:A\to \mathbb {S} ^{n}$ допускает непрерывное продолжение $F:X\to \mathbb {S} ^{n}$ .

Литература

Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
Crilly, Tony, 2005, «Paul Urysohn and Karl Menger: papers on dimension theory» in Grattan-Guinness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 844-55.
R. Engelking, Theory of Dimensions. Finite and Infinite, Heldermann Verlag (1995), ISBN 3-88538-010-2.

V. V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel’skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.

V. V. Filippov, On the inductive dimension of the product of bicompacta, Soviet. Math. Dokl., 13 (1972), N° 1, 250—254.
A. R. Pears, Dimension theory of general spaces, Cambridge University Press (1975).